Chủ đề này có 4 trả lời

[human king]

Cho$a,b,c> 0$,$a,b,c> 0,abc= 1. CMR: \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-03-2013 - 17:16

[hoangtrunghieu22101997]

cho$a,b,c> 0$,$a,b,c> 0,abc= 1. CMR: \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

 
$$\sum \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} \le \dfrac{1}{2(ab+b+1)}=\dfrac{1}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 31-03-2013 - 15:12

[buiminhhieu]

 
$$\sum \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} \le \dfrac{1}{2(ab+b+1)}=\dfrac{1}{2}$$

tại sao lại như vậy

[25 minutes]

tại sao lại như vậy

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 \geq 2ab+2b+2=2(ab+b+1)$

                                             $\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3} \leq \frac{1}{2(ab+b+1)}$

Sử dụng bổ đề sau : Với $abc=1$ thì $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}=1$

Chứng minh : 

Do $abc=1$ $\Rightarrow ab(bc+c+1)=ab+b+1\Rightarrow \frac{1}{bc+c+1}=\frac{ab}{ab+b+1}$

Lại có $\Rightarrow b(ca+a+1)=ab+b+1\Rightarrow \frac{1}{ac+a+1}=\frac{b}{ab+b+1}$

  $\Rightarrow \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$

Vậy ta có đpcm

[buiminhhieu]

bạn tìm được MIN không mà chủ đề của mình là tìm min thế mà mình bị khóa topic