Đề thi HSG 11 tỉnh Bắc Giang 2012-2013
Ngày thi 31/3/2013
Câu 2:
1) Có bao nhiều số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện 2 lần, các chữ số khác xuất hiện không quá một lần.
2) cho n là số nguyên dương thoả mãn:
$1C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+...+nC_{n}^{n}=128n$
Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển thành đa thức của:
$f(x)=2(1+x)^n+x(2+x)^{n+1}$
Câu:3
1) Cho dãy số (Un) được xác định như sau:
$x_{1}=1 ;x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( x_{n}+\frac{2013}{x_{n}})$
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}$
2) Tính giới hạn:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{4+x}\sqrt[3]{1+2x}-2}{}x$
Câu 4:
1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A,B,C di động sao cho chúng luôn tạo thành một tam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng $\bigtriangleup$ cố định. Tìm tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
2) Cho hình chớp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 60 độ. Gọi N là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.
a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN?
2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD?
Câu 5:
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác . Chứng minh rằng:
$sinA +sinB-\frac{\sqrt{2}}{2}cosC\leq \sqrt{2}$