Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán.

Ch0 2011 điểm trên mặt phẳng, 2 điểm bất kì cách nhau khoảng $\geq 1$. Chứng minh tồn tại 250 điểm mà 2 điểm bất kì cách nhau 1 khoảng $\geq \sqrt{3}$.

[gogo123]

Dựng các đường tròn $(A_i;0,5)$ với $i=\overline{1,2011}$ ($A_i$ là các điểm).

Theo giả thiết bài toán các đường tròn này đôi một không cắt nhau.

Xét một điểm $A_i$ bất kì, lấy 6 điểm gần $A_i$ nhất.

Xem hình vẽ ta thấy có nhiều nhất sau đường tròn có thể cùng tiếp xúc với $(A_i;0,5)$. Khi đó đường tròn thứ 7 gần $(A_i;0,5)$ nhất là đường tròn $(B;0,5)$ như hình vẽ.Dễ dàng tính được $A_iB=\sqrt{3}$.

Như vậy tất cả các điểm khác 6 điểm gần $A_i$ nhất đều cách $A_i$ một khoảng không bé hơn $\sqrt{3}$.

Ta thực hiện như sau: Lấy một điểm bất kì rồi xóa đi 6 điểm gần nó nhất, xét các điểm không bị xóa khác điểm vừa chọn ta lại xóa đi 6 điểm gần nó nhất (6 điểm này không chứa điểm đã chọn ở bước trước),..., thực hiện thuật toán cho đến khi kết thúc ta thu được $\left [ \frac{2011}{6} \right ]$ điểm đôi một cách nhau $\geq \sqrt{3}$. 

Hình gửi kèm

•