Chủ đề này có 2 trả lời

[Oral1020]

Cho $a,b,c \ge 0$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \ge \sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}+\sqrt{ab^3+bc^3+ca^3}$

[babystudymaths]

Cho $a,b,c \ge 0$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \ge \sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}+\sqrt{ab^3+bc^3+ca^3}$

(BEAD) Ta dùng cô si :$\sum (a^{4}+a^{2}b^{2})\geq \sum (2a^{3}b)$,và $\sum (a^{4}+c^{2}a^{2})\geq \sum (2a^{3}c)$,từ đây suy ra $\sum a^{4}+\sum b^{2}c^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$,lại áp dụng BĐT Cs,ta có$(a^{4}+b^{4}+c^{4})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq (\sum a^{3}b)^{2}$ và $(a^{4}+b^{4}+c^{4})(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}a^{2})\geq (\sum b^{3}a)^{2}$,từ đây suy ra $(\sum a^{4})(\sum b^{2}c^{2})\geq (\sum a^{3}b)(b^{3}a)$,dùng 2 BĐT ta vừa chứng minh bằng cách bình phương 2 vế của đề bài,ta có đ.p.c.m

[mrjackass]

Cho $a,b,c \ge 0$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \ge \sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}+\sqrt{ab^3+bc^3+ca^3}$

 

 

(BEAD) Ta dùng cô si :$\sum (a^{4}+a^{2}b^{2})\geq \sum (2a^{3}b)$,và $\sum (a^{4}+c^{2}a^{2})\geq \sum (2a^{3}c)$,từ đây suy ra $\sum a^{4}+\sum b^{2}c^{2}\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})$,lại áp dụng BĐT Cs,ta có$(a^{4}+b^{4}+c^{4})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq (\sum a^{3}b)^{2}$ và $(a^{4}+b^{4}+c^{4})(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}a^{2})\geq (\sum b^{3}a)^{2}$,từ đây suy ra $(\sum a^{4})(\sum b^{2}c^{2})\geq (\sum a^{3}b)(b^{3}a)$,dùng 2 BĐT ta vừa chứng minh bằng cách bình phương 2 vế của đề bài,ta có đ.p.c.m

Hoặc có thể là Mincowski cùng 1 ít AM-GM, vừa nhanh vừa gọn

$\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq \sqrt{(a^2+ab)^2+(b^2+bc)^2+(c^2+ca)^2} \geq 2\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}$

$\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{c^2a^2+a^2b^2+b^2c^2} \geq \sqrt{(a^2+ca)^2+(b^2+ab)^2+(c^2+bc)^2} \geq 2\sqrt{a^3c+b^3a+c^3b}$

Cộng lại có đpcm