Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Các bài toán về số chính phương .


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1 Zony Nguyen

Zony Nguyen

    Đốt Lửa

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương + Thái BÌnh
  • Sở thích:Girl

Đã gửi 02-04-2013 - 18:07

Bài 1 :

a , Tìm các số nguyên $x$ để  $x^{2}-2x -14$ 

           b, tìm số nguyên tố $p$ để $4p +1$ là số chính phương .

Bài 2 :

Chứng minh 

$A = n^{6} - n^{4} +2n^{3} +2n$ không là số chính phương . 

Bài 3 :

a,Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n\geq 1$ sao cho :

$1^{2}+2^{2}+.....+ n^{2}$ là một số chính phương .

b, Tìm các  số chính phương sao cho nó chia 39 được thương số nguyên tố và dư 1

c, Tìm $a ,b$ để $M = x^{4}-6x^{3}+ax^{2} +bx +1$ .

Bài 4 :

a, Số chính phương $M$ gồm 4 chữ số . Nếu ta thêm vào mỗi số của $M$ thì được số $N$ là số chính phương . Tìm $M$ ,$N$ .

b, CMR : Số $a = 11...1 +44....4 +1$ là bình phương của một số tự nhiên . ( trong đó có $2k$ chữ số 1  và  $k$ chữ số 4 )

c, CMR : Với mọi  $n \epsilon Z$ ; $n> 0$ thì : $A = n^{4} +2n^{3} +2n^{2} +2n +1$ không là số chính phương .

d, Cho $N= 1.2.3 + 2.3.4 + ....n(n+1)(n+2)$ CMR : $4N +1$ là một số chính phương với mọi n nguyên dương .

Bài 5 : 

a , Tìm số tự nhiên $n$ để $n+24$ và $n-65$ là hai số chính phương .

b, CMR : Số  $22499.....9100....09 là số chính phương   (n-2 chữ số  9 ; n chữ số  0)$

Bài 6 : 

a, Chứng minh rằng $A = x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$   là tổng các bình phương của 3 số nguyên nếu $x +y+z =t$ và thuộc nguyên .

b, Chứng minh rằng với $x ; y \epsilon Z$ thì $P = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y^{4}$ là một số chính phương . 

c, Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương .

Bài 7 : 

a,Cho $m, n$ là các số thỏa mãn $3m^{2}+n= 4m^{2}+n$ .

Chứng minh rằng $m-n$ và $4m+4n+1$ đều là số chính phương .

b, Tìm các số tự nhiên $x$ để $\frac{x^{2}+8}{x+8}$ là số chính phương .

c, Chứng minh rằng : Với mọi $x\epsilon Q$ thì giá trị của đa thức :

$M = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$ là bình phương của một số hữu tỉ .

 

P/s : Mấy bài dễ anh em vào góp vui .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zony Nguyen: 02-04-2013 - 23:14

Chúc anh em luôn vui vẻ ! nhiều sức khỏe ! Nhận nhiều like

#2 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 02-04-2013 - 19:29

bài 1 a là gì zậy


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#3 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 02-04-2013 - 19:34

1b

xét p=2$\rightarrow$ngon

p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#4 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 02-04-2013 - 19:35

câu 3 nữa đề thế nào đấy


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#5 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 02-04-2013 - 19:43

Câu 1

a) $x^{2}-2x+14=y^{2}\Leftrightarrow (y-x+1)(y+x-1)=13$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y-x+1=1\\ y+x-1=13 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=-1\\ y+x-1=-13 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=13\\ y+x-1=1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=-13\\ y+x-1=-1 \end{matrix}\right.$

 

Câu 4

b) $a=11...1+44...4+1=10^{2k-1}+10^{2k-2}+...+1+4(10^{k-1}+10^{k-2}+...+1)+1=\frac{10^{2k}-1+4(10^{k}-1)+9}{9}=\left ( \frac{10^{k}+2}{3} \right )^{2}$

Mặt khác do $10\equiv 1(mod 3)\Rightarrow 10^{k}\equiv 1(mod3)\Rightarrow 10^{k}+2\equiv 0(mod3)$

c) $(n^{2}+n)^{2} < n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1 < (n^{2}+n+1)^{2}$

Vậy $A$ không phải là số chính phương

 

Câu 6

a) $A=2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2xy+2yz+2zx=(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}$

b) $P=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+y^{4}=(x^{2}+5xy+4y^{2})(x^{2}+5xy+6y^{2})+y^{4}=(x^{2}+4xy+5y^{2})^{2}$

c) $H=(n-1)n(n+1)(n+2)+1=\left ( n^{2}+n \right )\left ( n^{2}+n-2 \right )+1=\left ( n^{2}-n-1 \right )^{2}$

 

Câu 7

a) $3m^{2}+m=4n^{2}+n\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^{2}$      $(1)$

Mặt khác, $(m-n;4m+4n+1)=1$. Thật vậy, giả sử $(m-n;4m+4n+1)=d$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ suy ra $m^{2}\vdots d^{2}\Leftrightarrow m\vdots d$

Do đó $n\vdots d$ $\Rightarrow 1\vdots d$

Vậy $(m-n;4m+4n+1)=1$

Ta có đpcm.

b) $Q=\frac{x^{2}+8}{x+8}=x-8+\frac{72}{x+8}$

Để $Q$ là số chính phương thì $72\vdots (x+8)$...

c) $M=(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16=(x^{2}+10x+16)(x^{2}+10x+24)+16$

$=\left ( x^{2}+10x+16 \right )+8(x^{2}+10x+16)+16=\left ( x^{2}+10x+18 \right )^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 02-04-2013 - 20:05


#6 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 02-04-2013 - 21:46

Bài 2: Đề sai rùi bạn ơi thay n = 1 đúng mà bạn


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#7 Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Đã gửi 02-04-2013 - 21:56

Bài 2 :

Chứng minh 

$A = n^{6} - n^{4} +2n^{3} +2n$$^2$ không là số chính phương . 

 

 

Bài 2: Đề sai rùi bạn ơi thay n = 1 đúng mà bạn

 

Phân tích:

$A=n^2(n^4-2n^2+1+n^2+2n+1)=n^2[(n^2-1)^2+(n+1)^2]=n^2(n+1)^2[(n-1)^2+1]$

Với n>1 thì rõ ràng trong [] ko CP nên A ko CP (ĐPCM)



#8 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-04-2013 - 17:34

tìm số tự nhiên n để $13n+3$ là số chính phương (bài này khá ảo)


 B.F.H.Stone


#9 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-04-2013 - 17:37

tìm số tự nhiên n để $2^{11}+2^{8}+2^{n}$ là số chính phương 


 B.F.H.Stone


#10 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 03-04-2013 - 17:44

tìm số tự nhiên n để $2^{11}+2^{8}+2^{n}$ là số chính phương 

Ta có : $2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}\Leftrightarrow 2304+2^{n}=k^{2}\Rightarrow 2^{n}=(k-48)(k+48)$

Đặt $k - 48 = 2^{p}, k+48=2^{q} (p<q,p+q=n)$

$\Rightarrow 96=2^{q}-2^{p}=2^{p}(2^{q-p}-1)=2^{5}.3\Rightarrow p=5,q=7\Rightarrow n=12$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#11 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 03-04-2013 - 17:53

Câu 5a:

Ta có : $n+24 = p^{2}, n-65 = q^{2}$

$\Rightarrow p^{2}-q^{2}=89\Leftrightarrow (p-q)(p+q)=1.89\Rightarrow q=\pm 44,p=\pm 45\Rightarrow n=2001$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#12 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-04-2013 - 21:18

chứng minh rằng với mọi số nguyên x lớn hơn 1 biểu thức $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương


 B.F.H.Stone


#13 nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Được người khác chia sẻ thêm nhiều kiến thức về Toán học.

Đã gửi 04-04-2013 - 21:20

bài 1 a là gì zậy

Câu 1a em không hiểu đề  


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#14 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 05-04-2013 - 19:45

chứng minh rằng với mọi số nguyên x lớn hơn 1 biểu thức $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương

Giả sử $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ là số chính phương

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=k^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4k^{2}$ 

Ta có : $\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}\leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4k^{2}<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}\Rightarrow x=0(L) & & \\ 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1(L) & & \end{bmatrix}$

Vậy $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#15 upinmie

upinmie

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Đã gửi 03-01-2014 - 14:00

Tìm x,y là số tự nhiên sao cho $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}$



#16 Aries Intelligent

Aries Intelligent

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:13 môn học và nghe nhạc =)))

Đã gửi 16-06-2014 - 08:38

Ta có : $2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}\Leftrightarrow 2304+2^{n}=k^{2}\Rightarrow 2^{n}=(k-48)(k+48)$

Đặt $k - 48 = 2^{p}, k+48=2^{q} (p<q,p+q=n)$

$\Rightarrow 96=2^{q}-2^{p}=2^{p}(2^{q-p}-1)=2^{5}.3\Rightarrow p=5,q=7\Rightarrow n=12$

Ồ thanks. Mình cũng đang bí bài này :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Aries Intelligent: 16-06-2014 - 08:39


#17 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 25-10-2014 - 12:05

Cho $T=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ với n tự nhiên. CMR nếu T tự nhiên thì T là số chính phương



#18 Harvey

Harvey

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 11-08-2015 - 20:29

Giúp mình với.

1.Tìm n sao cho n2+n+43 là số chính phương.

2.Tìm số chính phương có 4 chữ số.Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số đó 1 đơn vị thì được 1 sô chính phương

Có lời giải thì tốt lém



#19 CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:BĐT-Cực trị
    Phương trình-Hệ phương trình

Đã gửi 11-08-2015 - 21:47

1b

xét p=2$\rightarrow$ngon

p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại

mình không hỉu tại sao p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại



#20 ZzThuyDuongzZ

ZzThuyDuongzZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:๖ۣۜMathematic ๖ۣۜLand ๖ۣۜQuang ๖ۣۜVinh ๖ۣۜPrimary ๖ۣۜSchool
  • Sở thích:(づ。◕‿‿◕。)づ~Đọc sách, làm toán~(づ。◕‿‿◕。)づ

Đã gửi 12-08-2015 - 11:58

mình không hỉu tại sao p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại

Do $4p+1=8k+5\equiv 5(mod8)$ suy ra vô lí.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh