Đến nội dung

Hình ảnh

Đối đồng điều lượng tử và đối xứng gương

* * * * - 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
Song song với chủ đề về lý thuyết trường lượng tử topo, mô hình sigma và lượng tử hóa của anh Hạnh, tôi muốn lập tiếp 1 chủ đề bàn luận về đối đồng điều lượng tử, 1 đối tượng toán học khá phức tạp và phép đối xứng gương. Đây sẽ là 1 chủ đề vô cùng lý thú và hỗ trợ cho lý thuyết trường lượng tử topo, hiểu theo 1 nghĩa nào đó trong vật lý, đối đồng điều lượng tử là 1 lý thuyết toán học của mô hình sigma lượng tử topo, và trong giả thuyết đối xứng gương thì nó được gọi là A-model. Phần trình bày dựa chủ yếu trên các bài giảng mà tôi được học và theo cuốn Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces của Yuri I.Manin
Phần I: Giới thiệu về đối đồng điều lượng tử.
Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi trong hệ tọa độ của H, không gian đối đồng điều, với đạo hàm cấp 3 của nó (hàm thế năng) được sử dụng để định nghĩa trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Z}_2 đại số phân bậc giao hoán có tính phân phối, với K là vành của tất cả các chuỗi hình thức trong hệ tọa độ đó.
ii) Như là 1 họ của các toán tử đối đồng điều polylinear http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{M}_{0,n+1} là không gian Moduli của các đường cong đại số stable với genus 0.
iii) Như 1 hệ khả tích đầy đủ trên bó tiếp xúc ( tangent sheaf) của formal spectrum (phổ hình thức) Spf(K).

Có 2 mô hình mà người ta gọi là A-Model và B-Model là 2 hướng tiếp cận đối đồng điều lượng tử với 2 hình thức luận khác nhau. B-Model dựa trên mô hình vật lý của Landau-Ginzburg ( cả 2 người này đều nhận giải thưởng Nobel vật lý), không gian Hurwitz và không gian moduli của đa tạp Calabi-Yau. Các hàm thế năng và metrics khả dĩ cho mô hình này được xây dựng thông qua tính tuần hoàn của các tích phân đại số và phép biến phân của cấu trúc Hodge. Cách tiếp cận vật lý của nó là phương pháp Lagrange và Hình học Kähler. Tôi sẽ chủ yếu post các bài về mô hình B vì theo tôi nó gần với hình học của lý thuyết trường ( Hình học đại số phức ). Tuy nhiên chúng ta cũng sẽ nhắc qua tới A-model được Maxim Kontsevich phát biểu 1 cách hệ thống trong triangulated category liên hệ với coherent sheaves.

Ký hiệu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi hay đơn giản 1 thế năng tương ứng với 1 phương trình trên (H,g) là 1 chuỗi hình thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\circ trên bởi công thức sau:
. Có thể kiểm tra lại phép toán trên là supercommutative ( siêu giao hoán).

(Còn nữa)

#2
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
tiếp theo:

Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi được nhận bởi phép đếm Gromov-Witten của các đường cong hữu tỉ trên V thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Z}_2 bậc chẵn và http://dientuvietnam...S_n-equivariant (http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_n nhóm đối xứng trên n phần tử) được miêu tả bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma của {1,...,n} và mọi homogeneous http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma trên các odd-dimensional classes http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma_i.

1 cách khác để mô tả cấu trúc trên đó là sử dụng phép cặp Poincare trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{M}_{0,n+1} và g trên H , lúc đó ánh xạ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?I_n ở trên được viết lại dưới dạng sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{F}_p.
ii) Lũy thừa Steenrod sinh 1 đại số sao cho [m] với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda là tham số chẵn.

Cấu trúc trên được gọi là "thế một" (potential one) nếu tensor là hoàn toàn đối xứng (totally symmetric).

1 cách tổng quát hơn, 1 đa tạp Frobenius (M,g,A) trong 1 trong bất cứ các phạm trù hình học nào ( phạm trù đa tạp trơn, phạm trù đa tạp giải tích, phạm trù đa tạp đại số ... ) là 1 đa tạp M cùng với 1 metric phẳng g và 1 trường tensor A hạng 3 sao cho nếu ta viết các thành phần tensor của A trong hệ tọa độ phẳng địa phương của metric g thì công thức cho bởi trong định nghĩa trên luôn được thỏa mãn.

Theorem: Cho trước (H,g), tồn tại 1 song ánh giữa các tập hợp sau:
i) Nghiệm hình thức của các phương trình tương ứng trên (H,g) modulo số hạng có degree nhỏ hơn hoặc bằng 2.
ii) Cấu trúc của CohFT ( lý thuyết trường đối đồng điều) trên (H,g).
iii) Cấu trúc của các đa tạp thế năng Frobenius hình thức trên (H,g).

Sau đây tôi muốn trình bày ngoài lề 1 chút về vấn đề Gromov-Witten-Invariant. Cho là 1 đa tạp symplectic, với 1 cấu trúc hầu phức J. 1 đường cong phức k-pointed trên M được hiểu là 1 tuple với C là 1 đường cong đại số trù mật liên thông và khả quy.
trong đó
giả chỉnh hình (Pseudo-holomorphic)
là hữu hạn

Điều kiện cuối cùng thường được gọi là điều kiện ổn định (bền vững) stability conditions. Trong phần tiếp theo tôi sẽ giới thiệu về Gromov-Topology.

(Còn nữa)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 24-12-2005 - 18:16


#3
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
Trước khi tiếp tục lại với Gromov-Witten tôi muốn trở lại với hình học đại số, đây là 1 công cụ mạnh để ứng dụng vào đối đồng điều hấp dẫn ( Gravitational quantum cohomology). Cho V là 1 đa tạp xạ ảnh trơn trên trường số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}. Ta định nghĩa 1 quy tắc như sau

bởi việc fixing và 1 lớp đồng điều đại số (algebraic homology class) . Trong vật lý người ta ký hiệu quy tắc trên như sau:

.

Và trong toán học người ta viết .

Hàm số được định nghĩa ở trên có tên là Correlators với gravitational descendant, nó form 1 họ các polylinear functions trên đối đồng điều hữu tỉ của V.

(Còn tiếp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 27-12-2005 - 00:57


#4
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
Bổ sung cho non-linear sigma model: Trong phần này tôi muốn nhắc lại mục đích của chúng ta trong chủ đề này là tìm hiểu về đối đồng điều lượng tử và mô hình sigma, như đã nói nó sẽ gắn liền với chủ đề TQFT của anh Hạnh. Tôi vẫn chưa muốn đề cập ngay đến Gromov-Witten vì ta còn phải chuẩn bị khá nhiều trước khi đi vào nó.

Theo như tôi hiểu, mục đích sắp tới của anh KK sẽ là tấn công vào CFT (conformal field theory), cho nên tôi muốn nói đôi chút về SUSY, có thể tạm gọi là bước đầu để tìm hiểu về CFT, tất nhiên tôi chưa đủ khả năng để bàn luận về superconformal algebra. 2 thành phần quan trọng nhất cho 1 nhà toán học muốn lao động trong lãnh vực lý thuyết trường đó là không gian Hilbert và Hamiltonian ( tương đương là Lagrangian ). Về ngôn ngữ hình học thì viên gạch cơ bản đầu tiên để hiểu không gian Hilbert thực sự là http://dientuvietnam...i?L^2-functions trên đa tạp Riemann cùng với toán tử Laplace được hiểu như là hàm Hamilton. Bằng việc cho các toán tử tuyến tính giao hoán với Hamiltonian người ta khám phá ra các định luật đối xứng. ( Xem thêm phần cơ học lượng tử, trong vật lý người ta nhận thấy, các toán tử giao hoán với Hamilton). Từ cách nhìn nhận của toán học thuần túy, người ta nhận thấy, việc chỉ xét các hàm số không được tự nhiên cho lắm, nhanh chóng người ta chuyển lên việc xét các dạng vi phân. Người ta có thể đầy đủ hóa không gian các dạng vi phân để thu được 1 không gian Hilbert bằng việc đưa dạnghttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^2 vào. Trong không gian mới thu được người ta chỉ ra được rằng, mọi phần tử đều có thể được phân tích thành 2 phần chẵn và lẽ. Theo ngôn ngữ vật lý thì dạng form chẵn (các hàm số) tương ứng với hạt boson, còn các dạng lẻ (1-Forms) tương ứng với các hạt Fermion. Hoàn toàn vì lý do hình học, người ta đưa vào thêm 1 khái niệm mới đó là siêu đại số Lie (hay có thể nói là đại số Lie phân bậc) của các toán tử đối xứng, đó là: Các toán tử vi phân tầm thường của các dạng vi phân giao hoán với toán tử Laplace. Thông thường thì loại đại số Lie này được mô tả bởi các quan hệ và phần tử sinh. Tuy nhiên vì lý do vật lý nào đó mà người ta đòi hỏi 1 số điều kiện mạnh hơn ví dụ như đại số Lie được căng bởi các không gian vector nền là có thể, trong vật lý người ta đưa thêm khái niệm: Đo kích thước đại số Lie bởi siêu đối xứng.

Đây chính là Kähler geometry, 1 bước khởi đầu quan trọng để có thể hiểu được B-model trong đối đồng điều lượng tử.
Định nghĩa: 1 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Z}_2 không gian vector ( siêu không gian vector ) là 1 không gian vector V cùng với 1 phép phân tích http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_0 cũng như http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_1 lần lượt được gọi là chẵn và lẻ. 1 phần tử được gọi là thuần nhất nếu hoặc hoặc .

1 số tính chất quan trọng:
i) Cho là 2 siêu không gian vector vậy thì tích tensor của 2 không gian trên là 1 siêu không gian vector được xác định bởi .

ii) Đại số đối xứng cấp 2 của 1 không gian vector thông thường V được định nghĩa thông qua thương của chia cho quan hệ . Nếu V là 1 siêu không gian vector vậy thì người ta định nghĩa đại số đối xứng cấp 2 nói trên bởi thương của chia cho quan hệ , 1 cách tổng quát người ta định nghĩa đại số đối xứng của siêu không gian vector như là tổng trực tiếp của các đại số đối xứng.
Tính toán đơn giản của đại số tuyến tính người ta thấy

iii) Nếu V là 1 siêu không gian vector vậy thì đại số các C-linear endomorphisms End(V) là 1 siêu không gian vector và

1 siêu đại số Lie là 1 siêu không gian vector cùng với với 1 đồng cấu phức chẵn [.,.] : sao cho đối với các phần tử thuần nhất a,b,c thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi:


Bây giờ ta gọi M là 1 đa tạp, ký hiệu không gian các dạng vi phân phức là , nó là 1 siêu không gian vector cùng với phép phân tích sau:



Thông thường các không gian vector trong vật lý là các không gian vô hạn chiều cùng với 1 tích vô hướng. Điều này hoàn toàn được phép nếu M là 1 đa tạp compact cùng với 1 Riemann metric. Người ta thường đòi hỏi không gian này là đầy đủ ( theo như vật lý, 1 hàm sóng được mô tả bởi các hàm trạng thái cơ bản 1 cách đầy đủ ).

(Còn tiếp)

#5
FakeAdminDienDanToanHoc

FakeAdminDienDanToanHoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
Bạn ơi cho mk hỏi Kähler là mêtric hay topo hở bạn? Tôi nghĩ nó là mêtric thì đún hơn :)
“Trí tuệ không phải là một sản phẩm từ trường lớp, nhưng là một quá trình học tập suốt đời.”




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh