$\Delta\left((-1)^k\left\lfloor\dfrac{(-1)^kk(k+1)}{3}\right\rfloor\right)=\left\lfloor\dfrac{k+2}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{k+2}{6}\right\rfloor$
Không phải "vô cớ" mà tìm ra được cái này!
Đặt $f(k)=\left((-1)^k\left\lfloor\dfrac{(-1)^kk(k+1)}{3}\right\rfloor\right)$
Trước khi nghĩ đến việc tìm sai phân của $f(k)$, ta hãy khảo sát $f(k)$ theo các số dư modulo $6$.
Tại sao lại xét theo modulo $6?$ mà không phải là $3$?
Tại vì $(-1)^k$ biến thiên tuần hoàn theo modulo $2$, phân thức còn lại thì biến thiên tuần hoàn theo modulo $3$.
Vậy kết hợp lại ta cần khảo sát $f(k)$ theo modulo $6$
Đặt $k=6m+r$ ở đây $r$ là tập hợp (từng trường hợp tương ứng) các số dư. Ta viết dạng thống kê là $r=\{0,1,2,3,4,5\}$
Khi đó ta có:
$\begin{align*}f(k)&=(-1)^{6m+r}\left\lfloor\dfrac{(-1)^{6m+r}(6m+r)(6m+r+1)}{3}\right\rfloor\\&=(-1)^r\left\lfloor(-1)^r\left(12m^2+4mr+2m+\dfrac{r(r+1)}{3}\right)\right\rfloor\\&=12m^2+4mr+2m+(-1)^r\left\lfloor\dfrac{(-1)^rr(r+1)}{3}\right\rfloor\\&=12m^2+4mr+2m+\{0,1,2,4,6,10\}\end{align*}$
(Tập hợp cuối được tính theo mỗi trường hợp từ $r=0$ đến $r=5$)
Tương tự
$\begin{align*}f(k+1)&=(-1)^{6m+r+1}\left\lfloor\dfrac{(-1)^{6m+r+1}(6m+r+1)(6m+r+2)}{3}\right\rfloor\\&=(-1)^{r+1}\left\lfloor(-1)^{r+1}\left(12m^2+4mr+6m+r+\dfrac{r^2+2}{3}\right)\right\rfloor\\&=12m^2+4mr+6m+r+(-1)^{r+1}\left\lfloor\dfrac{(-1)^{r+1}(r^2+2)}{3}\right\rfloor\\&=12m^2+4mr+6m+r+\{1,1,2,3,6,9\}\\&=12m^2+4mr+6m+\{1,2,4,6,10,14\}\end{align*}$
Suy ra:
$\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)=4m+\{1,1,2,2,4,4\}$
$\qquad=4\left\lfloor\dfrac{k}{6}\right\rfloor+\{1,1,2,2,3,3\}+\{0,0,0,0,1,1\}$
$\qquad=4\left\lfloor\dfrac{k}{6}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{r+2}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{r+2}{6}\right\rfloor$
$\qquad=4\left\lfloor\dfrac{k}{6}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{k-6\left\lfloor\frac{k}{6}\right\rfloor+2}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{k-6\left\lfloor\frac{k}{6}\right\rfloor+2}{6}\right\rfloor$
$\qquad=4\left\lfloor\dfrac{k}{6}\right\rfloor-3\left\lfloor\dfrac{k}{6}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{k+2}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{k}{6}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{k+2}{6}\right\rfloor$
$\qquad=\left\lfloor\dfrac{k+2}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{k+2}{6}\right\rfloor$