Những "cục xương" khó nuốt trôi bao gồm:
Bài toán 10: Tính $S=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(k+a)^{k-1}(n-k+b)^{n-k-1} \quad (a,b \in \mathbb{N^*})$.
Bài toán 20: Chứng minh rằng $\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{1 + {F_{2k + 1}}}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$
Bài toán 21: Chứng minh rằng $\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{{F_1^2 + F_2^2 + ... + F_k^2}}} = \frac{{\sqrt 5 -1}}{2}$
Trong đó $F_{k}$ là số thứ $k$ trong dãy Fibonacci được xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}{F_0} = 0;{F_1} = 1\\{F_{n + 2}} = {F_{n + 1}} + {F_n} \quad (n \in \mathbb{N})\end{array} \right.$
Bài toán 24 (Khuyến khích phương pháp Hàm sinh )
Tính tổng:
$S=\sum_{k=0}^{n} {2n+k\choose 3k}$
Một bài toán còn tồn đọng:
Bài toán 26
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ
Tính tổng:
$S=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k(2k-p)\left\lfloor\frac{k^3}{p}\right\rfloor$
Và bây giờ là đề mới:
Bài toán 27
Ký hiệu giai thừa cách đôi
$\qquad(2n)!!=(2n)(2n-2)...2$
và $\quad(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)...1$
cùng quy ước $(-1)!!=0!!=1$
Hãy tính tổng sau:
$S=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k (2n+2k-1)!!}{(2n+2k+2)!!}$
Bài toán 28
Chứng minh đẳng thức (khá hữu dụng) sau:
$S=\sum_{k=0}^n \dfrac{\displaystyle (-1)^k {n\choose k} {x+k\choose k}}{\displaystyle {y+k\choose k}}=\dfrac{(y-x)_n}{(y+1)_n}$
Với ký hiệu Pochammer (lũy thừa tăng)
$(x)_n=\underbrace{x(x+1)...(x+n-1)}_{n \text{ thừa số }}$
Quy ước $(x)_0=1,\quad(x\ne 0)$
Bài toán 29
Dãy các số điều hòa $H_m$ được định nghĩa như sau:
$\begin{cases}\displaystyle H_0=0\\ \displaystyle H_m=\sum_{k=1}^m \frac{1}{k}\end{cases}$
Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=0}^n \dfrac{\displaystyle (-1)^k {n\choose k}H_k}{\displaystyle{m+k\choose k}}=\dfrac{m}{m+n}\left(H_{m-1}-H_{m+n-1}\right)$