Bài toán 33: Cho trước số nguyên dương $m$.Tính tổng $S=\sum_{k=0}^{n}\binom{mn}{mk}$.
Bài toán 30: Cho $n$ lẻ.Tính tổng $S = \sum\limits_{k = 1}^{n-1}(-1)^{k}\binom{n}{k}F_{k}$.
Trong đó $F_{k}$ là số thứ $k$ trong dãy Fibonacci.
Bài toán 30 này nếu mở rộng cho $n$ nguyên dương bất kỳ thì sẽ có $\boxed{\displaystyle S=-F_{n}+(-1)^{n+1}F_{n}=F_{-n}-F_{n}}$.
Sau đây là một số đề nghị cho bài tập này:
Bài toán 30*:
Tính các tổng sau:
$\fbox{a}\quad A = \sum\limits_{k = 0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}F_{n+k}$.
$\fbox{b}\quad B = \sum\limits_{k = 0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}F_{2n+k}$.
$\fbox{c}\quad C = \sum\limits_{k = 0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}F_{2n-k}$.
$\fbox{d}\quad D = \sum\limits_{k = 0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}F_{2k}$.
$\fbox{e}\quad E = \sum\limits_{k = 0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}F_{3k}$.
Trong đó $F_{k}$ là số thứ $k$ trong dãy Fibonacci.
Spoiler
Anh cũng đang định đưa dạng bài này vào thì em đã đưa vào luôn! Thật trùng hợp quá!
Hãy tìm dạng tổng quát nếu có thể!
Còn các bài toán đề nghị này của anh nếu sử dụng biến đổi Đại Số (đặt $\alpha;\beta$ như trong bài giải bài 30 của em) thì rất dễ dàng,nhưng em đang suy nghĩ cách sử dụng hàm sinh...
@hxthanh: Dark lưu ý, về sự đa dạng của các bài Toán nhé! đừng đơn điệu quá!
@Dark templar: Em cũng sẽ cố gắng kiếm thêm dạng bài khác
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-04-2013 - 08:32
Đáp số là: $\qquad S=\cot\frac{\pi}{2n}.\cos\frac{\pi}{2n}$
Nhận xét:
Bài toán này hấp dẫn không hẳn là vì nó khó, cũng không phải bởi kết quả đẹp và sự khéo léo của người ra đề mà còn hấp dẫn vì nó đòi hỏi rất nhiều kỹ năng và công cụ Đại Số, Số Học khi bắt tay vào giải...
Khúc mắc đầu tiên là về hàm phần nguyên $\lfloor\sqrt{kn}\rfloor$.
Làm sao để "gỡ bỏ" nó?
Đặt $m=\lfloor\sqrt{kn}\rfloor$, thế thì câu hỏi tiếp theo sẽ là:
"Với những giá trị nào của $k$ thì $\lfloor\sqrt{kn}\rfloor=m$?"
Ta có: $m\le \sqrt{kn}<m+1\Rightarrow \frac{m^2}{n}\le k<\frac{(m+1)^2}{n}$
Nghĩa là có tất cả $\left\lfloor\frac{(m+1)^2}{n}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m^2}{n}\right\rfloor$ giá trị của $k$ thỏa mãn điều này!
Vậy là ta sẽ chia đoạn cần lấy tổng $[1, n-1]$ thành những đoạn $\left[\left\lfloor\frac{m^2}{n}\right\rfloor+1,\left\lfloor\frac{(m+1)^2}{n}\right\rfloor\right]$ với $m=0,1,...?$
Giá trị của $m$ lớn nhất là bao nhiêu?
Với $m=n-1$ thì: $\left\lfloor\frac{(m+1)^2}{n}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n^2}{n}\right\rfloor=n$
Với $m=n-2$ thì: $\left\lfloor\frac{(m+1)^2}{n}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{(n-1)^2}{n}\right\rfloor=n-2$
Ngược lại ta cho tương ứng $\alpha_j$ tương ứng với một số hạng trong nhân tử $\left(1+a^{2^j}\right)$. $\alpha_j=0$ tương ứng số $1$, $\alpha_j=1$ tương ứng với $a^{2^{j}}$
Vậy nên hệ số $u_k=1\forall k$
Suy ra điều cần chứng minh.
Tưởng bế tắc với phương án này, tuy nhiên kết quả của nó thật tuyệt!
$(n-1)$ nghiệm của $(\star\star)$ là: $\dfrac{1}{\cos^2\left(\frac{k\pi}{2n}\right)};\;k=1,...,n-1$
Do đó: $\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{\sin^2\left(\frac{k\pi}{2n}\right)}=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{\cos^2\left(\frac{k\pi}{2n}\right)}=\dfrac{2(n-1)(n+1)}{3}$
Cho các số nguyên dương $k,r,n$, gọi $S(k,r,n)$ là số bộ nghiệm không âm $(x_1,...,x_n)$ của phương trình $x_1+...+x_n=k$ sao cho $x_j \le r \;\;, \forall \; 1 \le j \le n$ . Chứng minh rằng:
Cho các số nguyên dương $k,r,n$, gọi $S(k,r,n)$ là số bộ nghiệm không âm $(x_1,...,x_n)$ của phương trình $x_1+...+x_n=k$ sao cho $x_j \le r \;\;, \forall \; 1 \le j \le n$ . Chứng minh rằng:
Bài toán 38: Cho $m,n$ là các số nguyên dương bất kỳ. Tìm điều kiện của $m$ và $n$ để $\sum\limits_{k = 0}^{mn - 1} {{{\left( { - 1} \right)}^{\left\lfloor {\frac{k}{m}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{k}{n}} \right\rfloor }}} = 0$ ?
Đề nghị Việt không xài các phần mềm tính toán để mà "phang" ra kết quả nhé,ít nhất em cũng hãy trình bày hướng đi để có thể ra được biểu thức sai phân ở trên chứ !
Nhìn các lời giải của em cứ như "từ trên trời rơi xuống" vậy ! Những lời giải như trên,theo anh là hoàn toàn vô nghĩa vì người đọc chẳng có được chút kiến thức,ích lợi gì ngoài những biểu thức Đại Số "khủng" được tạo ra từ vi tính !
@SUPERMEMBER: EM CŨNG THẤY NÓNG MŨI LÂU RỒI MÀ KHÔNG NÓI.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 27-05-2013 - 13:11
Đề nghị Việt không xài các phần mềm tính toán để mà "phang" ra kết quả nhé,ít nhất em cũng hãy trình bày hướng đi để có thể ra được biểu thức sai phân ở trên chứ !
Nhìn các lời giải của em cứ như "từ trên trời rơi xuống" vậy ! Những lời giải như trên,theo anh là hoàn toàn vô nghĩa vì người đọc chẳng có được chút kiến thức,ích lợi gì ngoài những biểu thức Đại Số "khủng" được tạo ra từ vi tính !
Bài toán 38: Cho $m,n$ là các số nguyên dương bất kỳ. Tìm điều kiện của $m$ và $n$ để $\sum\limits_{k = 0}^{mn - 1} {{{\left( { - 1} \right)}^{\left\lfloor {\frac{k}{m}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{k}{n}} \right\rfloor }}} = 0$ ?
Do biểu thức trong hàm phần nguyên có dạng $\frac{F_{2k}}{F_{k+1}}$ nên ta sẽ tìm cách biểu diễn Đại Số giữa $F_{2k}$ và $F_{k+1}$ để có thể "phá" dấu phần nguyên.
Em nghĩ là khi đưa ra lời giải của 1 bài toán trong topic này,ta hãy để nó dưới dạng "Ẩn-Hiện" như trên để khi load trang và công thức Toán sẽ nhanh hơn,giống như các topic Marathon bên ML vậy.
Bài toán 40
Phân đoạn đa thức 2 lần có thể ra nhưng em thấy rối và không hay nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-06-2013 - 11:45