Chủ đề này có 1 trả lời

[chrome98]

Chứng minh rằng trong 10 số nguyên dương liên tiếp luôn có một số nguyên tố cùng nhau với tích của 9 số còn lại.

[nguyenta98]

Chứng minh rằng trong 10 số nguyên dương liên tiếp luôn có một số nguyên tố cùng nhau với tích của 9 số còn lại.

Giải như sau:

Trong $10$ số nguyên tồn tại đúng $5$ số chia hết cho $2$ gọi là tập $|A_1|=5$

Trong $10$ số nguyên tồn tại $3,4$ số chia hết cho $3$ nhưng do tính chẵn lẻ thì trong $2,3,4$ số chia hết cho $3$ này tồn tại tối đa $2$ số là số lẻ gọi là tập $A_2$ nên $|A_2|\le 1$
Trong $10$ số nguyên này tồn tại $2$ số chia hết cho $5$ trong hai số này do tính chẵn lẻ tồn tại tối đa $1$ số chia hết cho $5$ là số lẻ và cũng tồn tại tối đa $1$ số chia hêt cho $5$ mà lẻ và không chia hết cho $3$ gọi tập này là $A_3$ suy ra $|A_3|\le 1$

Tương tự với tập $A_4$ là chia cho $7$ mà lẻ, không chia hết cho $3,5$ nên $|A_4|\le 1$
Mặt khác $A_i\cap A_j=\phi$ nên số các số có ước nguyên tố thuộc tập $(2,3,5,7)$ là $
|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4|=|A_1|+|A_2|+|A_3|+|A_4|\le 5+2+1+1=9$ (do $A_i\cap A_J=\phi$)

Như vậy trong $10$ số này có một số không có bất kì ước nguyên tố thuộc tập $(2,3,5,7)$ và số đó nguyên tố cùng nhau với $9$ số còn lại, thật vậy giả sử số đó là $M$ nếu $gcd(M,m)\neq 1 \Rightarrow gcd(M,|M-m|)\neq 1$ mà $|M-m|\le 9$ (do $10$ số tự nhiên liên tiếp) nên $gcd(M,|M-m|)$ là ước của một trong $9$ số $1,2,3,...,9$ khi ấy $M \vdots p$ với $2\le p\le 7$ mâu thuẫn với nhận định trên, do đó có đpcm