1.Tìm hàm giải tích f(z)=u(x,y)+iv(x,y) biết phần ảo
v=$3x^{2}y+2x^{2}-y^{3}-2y^{2}$ ; f(0)=1
2.Chứng minh rằng nếu hàm f(z) giải tích và thực trong miền D thì f(z) là hằng số trong D
Xét điều kiện Cauchy- Riemann:
$\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}=3 x^2-3 y^2-4y$.
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=-6xy-4x$
Tích phân đẳng thức thứ $2$ theo $y$, ta được:
$u(x,y)=-3xy^2-4xy+C(x)$.
Đạo hàm $u$ theo $x$, ta có:
$\frac{\partial u}{\partial x}=-3y^2-4y+C'(x)=3x^2-3y^2-4y$
$\iff C'(x)=3x^2$
$\iff C(x)=x^3 + C$
$\Rightarrow u(x,y)=-3xy^2-4xy+x^3 + C.$
Vậy ta có: $f(z)=-3xy^2-4xy+x^3 + C+ i(3x^{2}y+2x^{2}-y^{3}-2y^{2})$.
Do $f(0)=1$
Nên $C=1$
Vậy hàm cần tìm là:
$f(z)=-3xy^2-4xy+x^3 + 1+ i(3x^{2}y+2x^{2}-y^{3}-2y^{2})$