ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ nhất - 05/04/2013
Bài 1.
Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh không song song nội tiếp $(O,R)$. Gọi $E$ là giao điểm hai đường chéo và đường phân giác góc $AEB$ cắt các đường thẳng $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q.$
1/ Chứng minh rằng các đường tròn $(AQM), (BMN), (CNP), (DPQ)$ cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là $K$.
2/ Đặt $\min \{ AC, BD \} = m $. Chứng minh rằng $OK \le \dfrac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}.$
----Hết----
Nguồn: Mathscope.org
Xứng đáng là đề thi TST.
Mình làm bài hình...
a) Gọi X,Y là giao điểm của $(AD,BC),(AB,CD)$
Gọi K là giao điểm của OE và XY thì OE vuông góc XY (định lí Brocard)
Ta sẽ chứng minh đây chính là giao điểm của các đường tròn trên.
Thật vậy theo các kết quả quen thuộc thì các tứ giác $AXKB,CKXD,CBKY,AKYD$ nội tiếp
$\Delta KAD\sim \Delta KBC$ suy ra
$\frac{KA}{KB}=\frac{AD}{BC}=\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MB}$
$\Rightarrow \widehat{AKM}=\widehat{BKM}=\frac{1}{2}\widehat{AKB}=\frac{1}{2}\widehat{AXB}=\widehat{ENB}$
(cộng trừ góc đơn giản)
suy ra M,N,B,K đồng viên.
Tương tự các đường tròn (AQM), (CNP), (DPQ) cũng đi qua K.(dpcm)
b) Ta sẽ chứng minh
$OK\leq \frac{2R^{2}}{\sqrt{4R^{2}-AC^{2}}}$ (1)
và $OK\leq \frac{2R^{2}}{\sqrt{4R^{2}-BD^{2}}}$ (2)
Ta sẽ chứng minh (1):
Nhận xét:$A,K,C,O$ đồng viên
Vì $\widehat{AOC}=2\widehat{ADC}=180^{\circ}-\widehat{AKC}$
Do đó
$EA.EC=EO.EK\Rightarrow EK=\frac{EA.EC}{EO}\Rightarrow OK=\frac{EA.EC+EO^{2}}{EO}$
$=\frac{R^{2}}{EO}$ (phương tích)
Do đó ta phải chứng minh
$\frac{R^{2}}{EO}\leq \frac{2R^{2}}{\sqrt{4R^{2}-AC^{2}}}$$\Leftrightarrow EO^{2}\geq 4R^{2}-AC^{2}$
$\Leftrightarrow 4EA.EC\leq AC^{2}$ hiển nhiên đúng.
Chứng minh tương tự (2) đúng
Vậy ta có $OK\leq \frac{2R^{2}}{\sqrt{4R^{2}-m^{2}}}$ với m=min(AC,BD) (dpcm)
P/S:xin lỗi mọi người,tại mình up mãi ko được hình.Thông cảm nha!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 06-04-2013 - 16:34