Chủ đề này có 20 trả lời

[mrjackass]

Bài 1 (5 điểm)

a) Tìm các số thực $a,b$ sao cho đa thức $4x^4-11x^3-2ax^2+5bx-6$ chia hết cho đa thức $x^2-2x-3$

b) Cho biểu thức $P=(a^{2013}-8a^{2012}+11a^{2011}) + (b^{2013}-8b^{2012}+11b^{2011})$. Tính giá trị của $P$ với $a=4+\sqrt{5}$ và $b=4-\sqrt{5}$

 

Bài 2 (5 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2-y^2-xy+5x+5y-6=0\\ 20x^2-y^2-28x+9=0 \end{matrix}\right.$

b) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $6x^2+10y^2+2xy-x-28y+18=0$

 

Bài 3 (2 điểm). Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh:

$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 4 (7 điểm). Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ và $AB<AC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ gặp nhau tại $H$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường thẳng $EF$ và $CB$. Đường thẳng $AI$ cắt $(O)$ tại $M$ ($M$ khác $A$)

a) Chứng minh năm điểm $A,M,F,H,E$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh ba điểm $M,H,N$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $BM.AC+AM.BC=AB.MC$

 

Bài 5 (1 điểm). Cho 2013 điểm $A_1,A_2,...,A_{2013}$ và đường tròn $(O;1)$ tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn $(O;1)$ đó, ta luôn có thể tìm được một điểm $M$ sao cho $MA_1+MA_2+...+MA_{2013} \geq 2013$

 

Mình đi thi khá tốt, chắc tầm 19 tới 20.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 05-04-2013 - 17:21

[daovuquang]

Có mấy chỗ bạn nhầm dấu + thành dấu =.

P/S: các bạn thi thế nào

[pcfamily]

Đề năm nay không khó, mỗi tội nhầm mất bài 2 

[mrjackass]

Đề năm nay không khó, mỗi tội nhầm mất bài 2 

Nhưng ít ra nó khó hơn năm ngoái 

[BlackSelena]

Đề năm nay dễ thật . 20/20 trong tầm tay

Tiếc là phải ở nhà

[BlackSelena]

Bài 5 (1 điểm). Cho 2013 điểm $A_1,A_2,...,A_{2013}$ và đường tròn $(O;1)$ tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn $(O;1)$ đó, ta luôn có thể tìm được một điểm $M$ sao cho $MA_1+MA_2+...+MA_{2013} \geq 2013$

Câu này đúng là cho điểm .........

Kẻ đường kính $DE$. Khi đó $(DA_1 + DA_2 + .. + DA_{2013}) + (EA_1 + EA_2 + .. + EA_{2013}) \geq 4026$

Đặt $P = DA_1 + DA_2 + .. + DA_{2013}$ ; $S = EA_1 + EA_2 + .. + EA_{2013}$ $(P, S \in \mathbb{N^*}$)

Vậy nếu $P \geq 2013$ thì $P$ là điểm $M$ cần tìm

Còn nếu $P < 2013$ thì $E> 2013$, $E$ là điểm cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 05-04-2013 - 16:18

[Zaraki]

1. b) Ta có $a+b=8$ và $ab=11$, thay vào thì tính được $P=0$.

[pcfamily]

Bài 3 (2 điểm). Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh:

$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{27a^{2}+3c^{2}-3c^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}=\frac{3}{c}-\frac{3c}{c^{2}+9a^{2}}\geq \frac{3}{c}-\frac{1}{2a}$

Tương tự, cộng lại

[BlackSelena]

$\frac{27a^{2}+3c^{2}-3c^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}=\frac{3}{c}-\frac{3c}{c^{2}+9a^{2}}\geq \frac{3}{c}-\frac{1}{2a}$

Tương tự, cộng lại

Cách khác đỡ 'khủng' hơn.

Đặt $(a;b;c) = (\dfrac{1}{x} ; \dfrac{2}{y} ; \dfrac{3}{z})$ với $x,y,z$ là thực dương.

Khi đó $x+y+z = 3$, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$\sum \dfrac{z^3}{x^2+z^2} \ geq \dfrac{3}{2}$
Lại có $\sum \dfrac{z^2}{x^2+z^2} = \sum ( z - \dfrac{zx^2}{x^2+z^2} ) \geq \sum (z - \dfrac{x}{2}) = 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$ (dpcm).

Đẳng thức xảy ra khi $a = 2b = 3c = 1$

Câu hình thì chỉ là 1 yếu tố phụ trong bài này.

Còn câu c thì là định lý ptolemy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 05-04-2013 - 12:47

[pcfamily]

Đồng chí nào làm bài 2 đi, vẫn còn lăn tăn 

[pcfamily]

Bài 2 (5 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2-y^2-xy+5x+5y-9=0\\ 20x^2-y^2-28x+9=0\end{matrix}\right.$

Bài này là ......5x+5y-6=0 bạn ơi

Chữa luôn phần này:

 

(1) <=> $y^2+y(x-5)-6x^2-5x+6=0$

$\Delta =x^2-10x+25+24x^2+20x+1=(5x+1)^2$. Từ đó tìm ra y và thay vào (2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcfamily: 05-04-2013 - 17:04

[WSunny]

đề này t làm chán vãi

[andymurray44]

Bài 2 mấy ông làm kiểu gì?

Cách tui làm đây:

Xét Delta với biến x,rút gọn thu được (y-1)(236y-432)<hoặc bằng 1

TH 1: (y-1)(236y-432)=1

TH này vô lí vì y-1 ko thể bằng 236y-432

TH 2:(y-1)(236y-432)=0

suy ra y=1,tìm đc x=0

TH3:(y-1)(236y-432)<0

TH này suy ra y-1 và 236y-432 trái dấu

Nếu y-1>0 và 236y-432<0,suy ra 1<y<2,vô lí

Nếu y-1<0 và 236y-432>0,suy ra y<1 và y>2,vô lí tiếp. Vậy nghiệm x=0,y=1.

 

Đề này tui làm OK,mỗi tội bài 2 làm vội quá ko biết có được full điểm ko.

Hỏi tí,bác chủ thớt thi cụm nào vậy? Tui thi cụm Hà Đông.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 05-04-2013 - 20:40

[andymurray44]

Cách khác đỡ 'khủng' hơn.

Đặt $(a;b;c) = (\dfrac{1}{x} ; \dfrac{2}{y} ; \dfrac{3}{z})$ với $x,y,z$ là thực dương.

Khi đó $x+y+z = 3$, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$\sum \dfrac{z^3}{x^2+z^2} \ geq \dfrac{3}{2}$
Lại có $\sum \dfrac{z^2}{x^2+z^2} = \sum ( z - \dfrac{zx^2}{x^2+z^2} ) \geq \sum (z - \dfrac{x}{2}) = 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$ (dpcm).

Đẳng thức xảy ra khi $a = 2b = 3c = 1$

Câu hình thì chỉ là 1 yếu tố phụ trong bài này.

Còn câu c thì là định lý ptolemy.

 

 

$\frac{27a^{2}+3c^{2}-3c^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}=\frac{3}{c}-\frac{3c}{c^{2}+9a^{2}}\geq \frac{3}{c}-\frac{1}{2a}$

Tương tự, cộng lại

Nói chung đều là Cauchy ngược dấu.

[andymurray44]

Nhưng ít ra nó khó hơn năm ngoái 

Ông nói chuẩn,nhưng vẫn ngon, thi cụm nào vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 05-04-2013 - 20:44

[mrjackass]

Ông nói chuẩn,nhưng vẫn ngon, thi cụm nào vậy?

Tui thi ở Thanh Xuân

[andymurray44]

Cách giải khác cho bài 2 câu b:

Nhân 2 cả vế rồi biến đổi thành:

$$(x+2y)^{2}+(x-1)^{2}+(4y-7)^{2}=14-10x^{2}$$

Sau đó xét khoảng của x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 06-04-2013 - 20:46

[mathlover1998]

sao de nam nay ngon the. De nam truoc kho hon

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathlover1998: 10-04-2013 - 20:57

[vietquang1998]

đề năm nay dễ thế, chưa làm câu Hình mình cũng làm được 13đ rồi @@

tiếc là bị loại ở vòng chọn đi thi HS giỏi thành phố =.=

[hoangtubangiaso1]

de quá dễ