Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG TP.Hà Nội 2013-2014 (5-4-2013)

đề thi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Bài 1:(5 điểm)

a) Tìm các số thực a,b,c sao cho đa thức $4x^{4}-11x^{3}-2ax^{2}+5bx-6$ chia hết cho đa thứcc$x^{2}-2x-3$

b) Cho biểu thức P = $(a^{2013}-8a^{2012}+11a^{2011})+(b^{2013}-8b^{2012}+11b^{2011})$

Tính P với $a=4+\sqrt{5} ; b=4-\sqrt{5}$

 

Bài 2:(5 điểm)

a) Giải hệ phương trình :  $\left\{\begin{matrix} 6x^{2}-y^{2}-xy+5x+5y-6=0& & \\ 20x^{2}-y^{2}-28x+9=0& & \end{matrix}\right.$

 

b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:

$6x^{2}+10y^{2}+2xy-x-28y+18=0$

 

Bài 3:(2 điểm)

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn:$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$.Chứng minh:

$\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 4:(7 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn,nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Các đường cao AD,BE,CF gặp nhau tại H . EF giao BC tại I . AI giao (O) tại M. ( M khác A )

a)Cmr: A,M,F,H,E thuộc 1 đường tròn

b) N là trung điểm BC.CMR: M,H,N thẳng hàng

c) Cm: BM.AC + AM.BC = AB.MC

 

Bài 5:(1 điểm)

Cho 2013 điểm A1,A2,...,A2013 và đường tròn (O;1) tùy ý nằm trên mặt phẳng.Cmr trên (O) đó,ta luôn tìm được một điểm M sao cho MA1+MA2+...+MA2013$\geq$ 2013

 

 

Tui hỏi mấy ông xem về cách làm câu b bài 2.



#2
cuongcute1234

cuongcute1234

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

$6x^{2}+10y^{2}+2xy-x-28y+18=0$

$24x^{2}+40y^{2}+8xy-4x-112y+72=0$

$(2x+2y+6)^{2}+20x^{2}+(6y-9)^{2}=45$

Do đó có $x^{2}\leq 2.25$ Mà x nguyên nễn=0,x=1,x=-1

Thay x vào pt đầu rồi tìm y

Bài này tớ dùng hệ số bất định



#3
dangviethung

dangviethung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

Bài 1:(5 điểm)

a) Tìm các số thực a,b,c sao cho đa thức $4x^{4}-11x^{3}-2ax^{2}+5bx-6$ chia hết cho đa thứcc$x^{2}-2x-3$

b) Cho biểu thức P = $(a^{2013}-8a^{2012}+11a^{2011})+(b^{2013}-8b^{2012}+11b^{2011})$

Tính P với $a=4+\sqrt{5} ; b=4-\sqrt{5}$

 

Bài 2:(5 điểm)

a) Giải hệ phương trình :  $\left\{\begin{matrix} 6x^{2}-y^{2}-xy+5x+5y-6=0& & \\ 20x^{2}-y^{2}-28x+9=0& & \end{matrix}\right.$

 

b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:

$6x^{2}+10y^{2}+2xy-x-28y+18=0$

 

Bài 3:(2 điểm)

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn:$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$.Chứng minh:

$\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 4:(7 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn,nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Các đường cao AD,BE,CF gặp nhau tại H . EF giao BC tại I . AI giao (O) tại M. ( M khác A )

a)Cmr: A,M,F,H,E thuộc 1 đường tròn

b) N là trung điểm BC.CMR: M,H,N thẳng hàng

c) Cm: BM.AC + AM.BC = AB.MC

 

Bài 5:(1 điểm)

Cho 2013 điểm A1,A2,...,A2013 và đường tròn (O;1) tùy ý nằm trên mặt phẳng.Cmr trên (O) đó,ta luôn tìm được một điểm M sao cho MA1+MA2+...+MA2013$\geq$ 2013

 

 

Tui hỏi mấy ông xem về cách làm câu b bài 2.

Mình ở Đồng Nai nhưng cũng xin góp ý nhaz bạn

 

Bài b câu 2 xem đây là một phương trình bậc hai ẩn x, giải với delta. Điều kiện cần là delta là số chính phương.

Rồi suy ra được các nghiệm.

 

Để mình làm kĩ hơn rồi mới post đáp án, chứ sai thì kì lắm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangviethung: 27-04-2013 - 21:10


#4
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

 

Bài 4:(7 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn,nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Các đường cao AD,BE,CF gặp nhau tại H . EF giao BC tại I . AI giao (O) tại M. ( M khác A )

a)Cmr: A,M,F,H,E thuộc 1 đường tròn

b) N là trung điểm BC.CMR: M,H,N thẳng hàng

c) Cm: BM.AC + AM.BC = AB.MC

 

 

a, Tứ giác BCEF nội tiếp nên IB.IC=IF.IE

tứ giác AMBC nội tiếp nên IM.IA =IB.IB

Suy ra IM.IA=IF.IE nên AMFE nội tiếp

mà AFHE nội tiếp 

Vậy A,M ,F,H,E cùng thuộc môt đường tròn


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#5
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

 

Bài 4:(7 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn,nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Các đường cao AD,BE,CF gặp nhau tại H . EF giao BC tại I . AI giao (O) tại M. ( M khác A )

a)Cmr: A,M,F,H,E thuộc 1 đường tròn

b) N là trung điểm BC.CMR: M,H,N thẳng hàng

c) Cm: BM.AC + AM.BC = AB.MC

 

 

b, MH cắt BC tại N', cắt (O) tại K

Vì $\widehat{AMK}=90^{0}\Rightarrow$ A,O,K thẳng hàng

Ta có BHCK là hình bình hành nên HK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Suy ra N' là trung điểm BC


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#6
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Bài 2 b mình xét thử rồi,Delta to lắm nhưng mình xét khoảng của Delta chứ ko cho nó là scp



#7
cuongcute1234

cuongcute1234

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Ai làm câu 3 pót lên hộ cái

Chưa làm nhưng nhìn đã ngại k làm nữa



#8
arsenal20101998

arsenal20101998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

dùng cô-si ngược dấu phát là ra



#9
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

 

Bài 3:(2 điểm)

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn:$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$.Chứng minh:

$\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}\geq \frac{3}{2}$

 

 

Đặt b= 2x , c= 3y

BĐT trở thành:$\frac{a^2}{y(y^2+a^2)}+\frac{x^2}{a(a^2+x^2)}+\frac{y^2}{x(x^2+y^2)}\geq \frac{3}{2}$ . Với $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{a}=3$

 

Tiếp tục đặt $p=\frac{1}{a};\frac{1}{x}=q;r=\frac{1}{y}\Rightarrow p+q+r=3$

Do đó ta cần chứng minh:

$\frac{r^3}{p^2+r^2}+\frac{p^3}{p^2+q^2}+\frac{q^3}{q^2+r^2}\geq \frac{3}{2}$

Sử dụng bổ đề:

$\frac{r^3}{p^2+r^2}\geq r-\frac{p}{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#10
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

 

Bài 5:(1 điểm)

Cho 2013 điểm A1,A2,...,A2013 và đường tròn (O;1) tùy ý nằm trên mặt phẳng.Cmr trên (O) đó,ta luôn tìm được một điểm M sao cho MA1+MA2+...+MA2013$\geq$ 2013

 

 

Giả sử trên đương tròn (O;1) khong tìm đuoc điểm M nào thỏa mãn MA1+MA2+...+MA2013 $\geq 2013$

Lúc đó có điểm M và gọi M' là điểm đối xứng của M quá O  thỏa mãn

MA1+MA2+...+MA2013  < 2013

M'A1+M'A2+...+M'A2013 < 2013

 

 

Công theo vế được :

(MA1+M'A1)+...+(MA2013 +M'A2013 )  < 2013 . 2

Nhưng theo Bất đẳng thức tam giác thì MA1+M'A1 > MM'=2

Do đó VT > 2013 .2 

Vô lí 

Vậy luôn tồn tại điểm M thỏa mãn như đề bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 03-05-2013 - 21:59

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#11
cuongcute1234

cuongcute1234

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Nhưng theo Bất đẳng thức tam giác thì MA1+M'A1 > MM'=2

Do đó VT > 2013 .2 

Chỗ này là thế nào ạ



#12
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Chỗ này là thế nào ạ

Đúng rồi mà em :

$MA_{1}+M'A_{1}> MM'=2$

.................................

$MA_{2013}+M'A_{2013}> MM'=2$

 

$\Rightarrow VT > 2013 .2$

 

 

Sorry, quên, MM' là đuong kính của đường tròn (O,1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 03-05-2013 - 21:58

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#13
cuongcute1234

cuongcute1234

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

$MA_{1}+M'A_{1}> MM'=2$

Số 2 ở đâu ra ấy ạ



#14
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

$MA_{1}+M'A_{1}> MM'=2$

Số 2 ở đâu ra ấy ạ

Bán kính (O) bằng 1 mà



#15
cuongcute1234

cuongcute1234

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Bán kính (O) bằng 1 mà

K để ý M' đối xứng với M



#16
ghibli

ghibli

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

$6x^{2}+10y^{2}+2xy-x-28y+18=0$

$24x^{2}+40y^{2}+8xy-4x-112y+72=0$

$(2x+2y+6)^{2}+20x^{2}+(6y-9)^{2}=45$

Do đó có $x^{2}\leq 2.25$ Mà x nguyên nễn=0,x=1,x=-1

Thay x vào pt đầu rồi tìm y

Bài này tớ dùng hệ số bất định

hệ số bất định là sao? Mình chưa hiểu lắm, bạn có thể giải thích cách tách được không?



#17
ghibli

ghibli

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Phần c bài 4 ta dùng định lí Potoleme 



#18
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài 3 :

$\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})} = \frac{3}{c}- \frac{3c}{c^{2}+9a^{2}}\geqslant \frac{3}{c}- \frac{3c}{2\sqrt{c^{2}.9a^{2}}}=\frac{3}{c}- \frac{1}{2a}$

Tương tự : 

$\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}=\frac{1}{a}-\frac{4a}{4a^{2}+b^{2}}\geq \frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

$\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}=\frac{2}{b}-\frac{18b}{9b^{2}+4c^{2}} \geq \frac{2}{b}-\frac{3}{2c}$

Cộng từng vế ba BĐT trên, kết hợp giả thiết => ĐPCM


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đề thi

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh