Chủ đề này có 5 trả lời

[Supermath98]

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có:

        $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuannguyena1: 05-04-2013 - 21:30

[banhgaongonngon]

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có:

        $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

 

Bất đẳng thức sai khi chọn $x=y=z=0$

[Supermath98]

Bất đẳng thức sai khi chọn $x=y=z=0$

ĐÚng thật. khi chọn như bạn thì sai.

[hoangvtvpvn]

Phải sửa đề là a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác không tù và thay dấu >thành$\geq$

[Supermath98]

Phải sửa đề là a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác không tù và thay dấu >thành$\geq$

Nhưng bạn ơi. đề thi nó thế

[mrjackass]

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có:

        $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Coi như đề là dấu $ \geq $ đi.

Trước hết với tam giác nhọn có 3 cạnh $a,b,c$, ta có hệ thức $b^2+c^2-2 cos \alpha bc =a^2$ với $\alpha$ là góc đối cạnh $a$ (Bạn tự CM bằng cách kẻ đường cao từ 1 trong 2 đỉnh của cạnh $a$)

Từ đó ta có $b^2+c^2-a^2=2cos \alpha bc >0$. Tương tự $a^2+b^2-c^2 >0$ và $c^2+a^2-b^2 >0$

*** Bài toán:

Đpcm $\iff (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2})(a^2+b^2+c^2) \geq 2(x^2+y^2+z^2) \iff x^2+y^2+z^2+\frac{x^2}{a^2}(b^2+c^2)+\frac{y^2}{b^2}(a^2+c^2)+\frac{z^2}{c^2}(a^2+b^2) \geq 2(x^2+y^2+z^2) \iff x^2(\frac{b^2+c^2}{a^2}-1) +y^2(\frac{a^2+c^2}{b^2}-1)+z^2(\frac{b^2+a^2}{c^2}-1)\geq 0 \iff \frac{x^2(b^2+c^2-a^2)}{a^2}+\frac{y^2(c^2+a^2-b^2)}{b^2}+\frac{z^2(a^2+b^2-c^2)}{c^2}\geq 0$

BĐT cuối đúng theo nhận xét ở trên. Dấu $=$ xảy ra $\iff x=y=z=0$