Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$ với $a+b+c=3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nguyen Hoai Linh

Nguyen Hoai Linh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-04-2013 - 09:26

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

                 $abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 06-04-2013 - 10:35
Chú ý Latex và tiêu đề

:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 06-04-2013 - 10:33

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

                  $abc(a2+b2+c2)$\leq 3$

BĐT đã cho tương đương với 

                     $abc\left [ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ac) \right ]=abc\left [ 9-2(ab+bc+ac) \right ] \leq 3$

Áp dụng AM-GM ta có $(ab+bc+ac)^2 \geq 3abc(a+b+c)=9abc$

                           $\Rightarrow 2(ab+bc+ac) \geq 6\sqrt{abc}$

Do đó $abc\left [ 9-2(ab+bc+ac) \right ] \leq abc(9-6\sqrt{abc})$

Đặt $\sqrt{abc}=t\Rightarrow 0 <t \leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1$

Ta cần chứng minh $t^2(9-6t) \leq 3$ với $0 < t \leq 1$

                      $\Leftrightarrow (t-1)^2(2t+1) \geq 0$

Nhưng bất đẳng trên luôn đúng

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 06-04-2013 - 10:35

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh