Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 06-04-2013 - 10:35
Chú ý Latex và tiêu đề
Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 06-04-2013 - 10:35
Chú ý Latex và tiêu đề
Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$abc(a2+b2+c2)$\leq 3$
BĐT đã cho tương đương với
$abc\left [ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ac) \right ]=abc\left [ 9-2(ab+bc+ac) \right ] \leq 3$
Áp dụng AM-GM ta có $(ab+bc+ac)^2 \geq 3abc(a+b+c)=9abc$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ac) \geq 6\sqrt{abc}$
Do đó $abc\left [ 9-2(ab+bc+ac) \right ] \leq abc(9-6\sqrt{abc})$
Đặt $\sqrt{abc}=t\Rightarrow 0 <t \leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1$
Ta cần chứng minh $t^2(9-6t) \leq 3$ với $0 < t \leq 1$
$\Leftrightarrow (t-1)^2(2t+1) \geq 0$
Nhưng bất đẳng trên luôn đúng
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 06-04-2013 - 10:35
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh