Chủ đề này có 3 trả lời

[lovemoon]

1.tìm số dư trong phép chia $109^{345}$ cho 14

2.tìm n sao cho $5^{n}+1$ chia hết cho $7^{2013}$

3.tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho 

$A=k19^{1993}+84^{1993}$ chia hết cho 13390

[dtvanbinh]

1.tìm số dư trong phép chia $109^{345}$ cho 14

2.tìm n sao cho $5^{n}+1$ chia hết cho $7^{2013}$

3.tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho 

$A=k19^{1993}+84^{1993}$ chia hết cho 13390

1/

   $109^{345}=109^{3.115}=(109^{Q(14)})^{115}$

    nên $109^{345}\equiv 1 (mod 14)$

 

2/

  xét dãy  $1,2,3,....,7^{2013}$

  Do $7$ nguyên tố nên ta chọn lấy dãy con sau (gồm các số không nguyên tố cùng nhau với $7^{2013}$ )

  $7,14,28,...,7^{2013}$

  số các số của dãy con là $\frac{7^{2013}-7}{7}+1=7^{2012}$

Vậy $Q(7^{2013})=7^{2013}-7^{2012}=6.7^{2012}$

 Ta có

    $5^{Q(7^{2013})}\equiv 1 (mod 7^{2013})$

  hay $7^{2013}|5^{6.7^{2013}}-1=(5^{3.7^{2012}}-1)(5^{3.72012}+1)$

   mà $(5^{3.7^{2012}}-1)$ không chia hết cho $7$

     nên $7^{2013}|(5^{3.7^{2012}}+1)$

Vậy $n$ cần tìm là các bội của $3.7^{2012}$

[PT42]

Bài 3: Ta có 13390 = 10.13.103 mà 3 số này nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên A chia hết cho 13390 khi và chỉ khi A chia hết cho 10, 13 và 103.

Có $A = (k-1)19^{1993} + (19^{1993}+84^{1993})$

vì 1993 lẻ nên$(19^{1993}+84^{1993})  \vdots   (19+84) = 103$

Do đó $A  \vdots  103 \Leftrightarrow (k-1)19^{1993}  \vdots  103$  $\Leftrightarrow k-1 =0 \Leftrightarrow k=1$

( vì $(19^{1993}, 103) = 1  do  (19, 103) =1$ )

k = 1 thì A = $19^{1993} + 84^{1993} = 19.(19^{2})^{996} + 84. (84^{2})^{996} \equiv 19 + 84 \equiv 3 (mod 10 )$ 

hay A không chia hết cho 10

 

Vậy không tồn tại k  để A chia hết cho 13390 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 17-05-2013 - 09:45

[PT42]

Bài 3a : Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho A = $k. 19^{1993} + 84^{1993 }$ chia hết cho 130