Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi olympic 30/4 lớp 10 miền Nam 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
mbrandm

mbrandm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết
ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1. Giải phương trình $$\left ( x+3 \right )\sqrt{-x^{2}-8x+48}=x-24$$
Bài 2. Cho lục giác lồi $ABCDEF$ biết tam giác $ABF$ vuông cân ở $A$, $BCEF$ là hình bình hành, $BC=19$, $AD=2013$, $DC+DE=1994\sqrt{2}$. Tính diện tích lục giác
Bài 3. Cho các số thực $x$, $y$ thỏa mãn $2x\left ( 1-x \right )\geq y\left ( 1-y \right )$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x-y+3xy$.
Bài 4. Cho $x$, $y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $p=x^{2}+y^{2}$ là số nguyên tố và $x^{3}+y^{3}-4$ chia hết cho $p$. Tìm $x$, $y$.
Bài 5. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho cho $19$ điểm mà tọa độ của chúng là các số nguyên, biết rằng không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại một tam giác sao cho tọa độ của trọng tâm tam giác đó là các số nguyên.
Bài 6. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$. Biết rằng $f\left ( n+3 \right )\leq f\left ( n \right )+3$ và $f\left ( n+2012 \right )\geq f\left ( n \right )+2012$. Tính $f\left ( 2013 \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-04-2013 - 23:24


#2
King of Kings

King of Kings

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

bài 2 câu hỏi là gì vậy?



#3
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1. Giải phương trình $$\left ( x+3 \right )\sqrt{-x^{2}-8x+48}=x-24$$

Có vẻ năm nay đề ác hơn năm ngoái

$\left ( x+3 \right )\sqrt{-x^{2}-8x+48}=x-24$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}(\sqrt{-x^2-8x+48}+x)(\sqrt{-x^2-8x+48}+x+6)=0\Leftrightarrow
 ...$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 06-04-2013 - 21:21

Link

 


#4
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Bài 5. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho cho $19$ điểm mà tọa độ của chúng là các số nguyên, biết rằng không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại một tam giác sao cho tọa độ của trọng tâm tam giác đó là các số nguyên.

 

 

Toạ độ trọng tâm tam giác là $x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}$

 

Và $y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$ nên ta phải chỉ ra trong 19 cặp $(x_{i};y_{i})$ (i=1 đến 19) tồn tại 3 cặp thoả mãn

 

$3|x_{m}+x_{n}+x_{p}$

 

và $3|y_{m}+y_{n}+y_{p}$   (***)

 

Thật vậy.Trong 19 số $x_{i}$ tồn tại ít nhất 7 số $x_{1},x_{2},...,x_{7}$ đồng dư modun 3

 

xét 7 số $y_{1},y_{2},...,y_{7}$ cũng có it nhất 3 số $y_{a},y_{b},y_{c}$ đồng dư modun 3  (theo nguyên lí dirichlet)

 

Khi đó 3 cặp số $(x_{a};y_{a}),(x_{b};y_{b}),(x_{c};y_{c})$ thoả mãn  (***)

 

Hay đây là 3 đỉnh của một tam giác có trọng tâm nguyên



#5
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Toạ độ trọng tâm tam giác là $x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}$

 

Và $y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$ nên ta phải chỉ ra trong 19 cặp $(x_{i};y_{i})$ (i=1 đến 19) tồn tại 3 cặp thoả mãn

 

$3|x_{m}+x_{n}+x_{p}$

 

và $3|y_{m}+y_{n}+y_{p}$   (***)

 

Thật vậy.Trong 19 số $x_{i}$ tồn tại ít nhất 7 số $x_{1},x_{2},...,x_{7}$ đồng dư modun 3

 

xét 7 số $y_{1},y_{2},...,y_{7}$ cũng có it nhất 3 số $y_{a},y_{b},y_{c}$ đồng dư modun 3  (theo nguyên lí dirichlet)

 

Khi đó 3 cặp số $(x_{a};y_{a}),(x_{b};y_{b}),(x_{c};y_{c})$ thoả mãn  (***)

 

Hay đây là 3 đỉnh của một tam giác có trọng tâm nguyên

Dễ vậy mà làm không được :((

Thui làm câu pt hàm vậy 

Dễ dàng quy nạp được $f(n) \leq n$ với $n\equiv 1 mod 3$

Từ đó ta có $2014\geq f(2014)\geq f(2)+2012$

$\Rightarrow f(2) \leq 2$

Quy nạp 1 lần nữa ta có  $f(n) \leq n$ với $n\equiv 2 mod 3$

$\Rightarrow 2015 \geq f(2015) \geq f(3)+2012$

$\Rightarrow f(3) \leq 3 $

Từ đó dễ dàng ta có $f(2013) \leq 2013$

Mà $f(2013) \geq 2013 $

Vậy $f(2013)=2013$

 

Àh câu 2 yêu cầu tìm diện tích lục giác câu này khoai nhất @@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 06-04-2013 - 22:14


#6
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
 
Bài 3. Cho các số thực $x$, $y$ thỏa mãn $2x\left ( 1-x \right )\geq y\left ( 1-y \right )$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x-y+3xy$.

Khoan đã bạn check lại xem đề câu này có bị sa0 không

Điều kiện đề bài tương đương $4y(y-1)\geq 8x(x-1)\Leftrightarrow (2y-1)^2+1\geq 2(2x-1)^2$.

Đặt $2y-1=b,2x-1=a$ thì ta có thể viết lại điều kiện thành $b^2+1\geq 2a^2$ và $4P=2(a-b)+3(a+1)(b+1)=3ab+5a+b+3$. Để ý với $b\to +\infty$ và $a=\frac{b}{2}$ thì biểu thức $P$ không có GTLN.... :"|


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 06-04-2013 - 23:30

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#7
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Sặc đề sai rùi $y-1$ không phải $1-y$



#8
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Sặc đề sai rùi $y-1$ không phải $1-y$

~.~ Nhảm thật, đặt như trên thì có $2a^2+b^2\leq 3$, ta cần tìm GTLN của $4P-3=3ab+5a+b$. Ta sẽ chứng minh $P\leq 3$ hay:

$$3ab+5a+b\leq 9$$

Hay: 

$$6ab+10a+2b\leq 8a^2+4b^2+6\Leftrightarrow 0\leq 3(a-b)^2+(b-1)^2+5(a-1)^2$$

Luôn đúng. Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1=x=y$ $\blacksquare$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#9
xuananh10

xuananh10

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
 
 
Bài 4. Cho $x$, $y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $p=x^{2}+y^{2}$ là số nguyên tố và $x^{3}+y^{3}-4$ chia hết cho $p$. Tìm $x$, $y$.

Ta có:$x^{3}+y^{3}-4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )-xy\left ( x+y \right )-4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow xy\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow \left [ \left ( x+y \right )^{2} -x^{2}-y^{2}\right ]\left ( x+y \right )+8\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+8\vdots x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow \left ( x+y+2 \right )\left [ \left ( x+y \right )^{2} -2\left ( x+y \right )+4\right ]\vdots x^{2}+y^{2}$

mà $x^{2}+y^{2}=p\in \mathbb{P}$

$\Rightarrow x+y+2\vdots x^{2}+y^{2}$hoặc$\left ( x+y \right )^{2}-2\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}$

Với $x+y+2\vdots x^{2}+y^{2}$

     Xét $x> 2,y> 2\Rightarrow x+y+2< x^{2}+y^{2}\rightarrow$ vô nghiệm

     Xét $x\leq 2,y\leq 2\Rightarrow x= 2,y= 1$ hoặc $x= 1,y= 2$

Với $\left ( x+y \right )^{2}-2\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow 2xy-2\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}$

     Xét p=2 Suy ra x=y=1

     xét p>2 Suy ra $xy-x-y+4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow xy-x-y+4\geq x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow xy+x+y\leq 4\Rightarrow x=2,y=1$ hoặc x=1,y=2 (vì p>2 nên x,y>1

Vậy cặp số x,y thoả mãn là 1,1 và 1,2 và 2,1

 

 

 

đề số năm nay của LHP dễ hơn mọi năm nhìu :icon6:  :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuananh10: 07-04-2013 - 07:52


#10
vinh1712

vinh1712

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

cho mình hỏi xem kết quả ở đâu vậy mọi người?



#11
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Câu 2:

Đặt AB=a

Tịnh tiến A thành A' theo $\overrightarrow{BC}$

Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác A'CdE:

$a.CE+a.CD\geq A'D.a\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 1994\sqrt{2}=DE+CD\geq A'D\sqrt{2}\Leftrightarrow A'D\leq 1994$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} AA'=19\\ A'D\leq 1994\\ AD=2013 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A'D=1994$ và A, A', D thẳng hàng

$\Rightarrow$ A'CDE là tứ giác nội tiếp và $\widehat{CDE}=90^{0}$

Ta lại có:

$CD=sin\widehat{CED}.a\sqrt{2}; ED=cos\widehat{CED}.a\sqrt{2}$

$\Rightarrow a.sin\widehat{CED}+ a.cos\widehat{CED}=1994$

Mà $CE= a.sin\widehat{CED}+ a.cos\widehat{CED}$

Tới đây chỉ thế số vào tính diện tích hai hình thang $BCDA, ADEF$.



#12
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Bài 6. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$. Biết rằng $f\left ( n+3 \right )\leq f\left ( n \right )+3$ và $f\left ( n+2012 \right )\geq f\left ( n \right )+2012$. Tính $f\left ( 2013 \right )$.

Mình nghĩ câu này thiếu dữ kiện vì hàm thoả là $f(n)=n+f(0)$ :(


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#13
vinh1712

vinh1712

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Mình nghĩ câu này thiếu dữ kiện vì hàm thoả là $f(n)=n+f(0)$ :(

đúng r...còn 1 điều kiện là f(1)=1



#14
nhatminh97

nhatminh97

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Câu 6:

Ta có:

f(n+6036)$\geq$f(n+4024)+2012$\geq$f(n+2012)+4024$\geq$f(n)+6036

Mà        f(n+6036)$\leq$f(n+6033)+3$\leq$...$\leq$f(n)+6036

$\Rightarrow$  f(n)=n.

Do đó f(2013)=2013


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatminh97: 07-04-2013 - 19:05


#15
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Câu 6:

Ta có:

f(n+6036)$\geq$f(n+4024)+2012$\geq$f(n+2012)+4024$\geq$f(n)+6036

Mà        f(n+6036)$\leq$f(n+6033)+3$\leq$...$\leq$f(n)+6036

$\Rightarrow$  f(n)=n.

Do đó f(2013)=2013

Mình cũng sử dụng kẹp chặt như bạn nhưng kết luận là $f(n)=n$ là không hợp lí nhé :)


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#16
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Kết quả thi 30/4 năm 2013

http://www.mediafire...lp56lihe9pblgm4






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh