Chủ đề này có 10 trả lời

[ninhxa]

Tìm $p,q$ nguyên tố thỏa mãn $p^3-q^7=p-q$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 26-07-2015 - 18:34

[I Love MC]

Ý tưởng : Xét $q$ thì có $p=13$ làm nghiệm 
Với $q=2$ thì không có nghiệm nguyên 
Ta xét với $p>3$ thì với mọi $p,q$ thỏa $p>q$ đều có $p^3-q^7>p-q$ (dễ chứng minh được $p>q$) 

[I Love MC]

Có lẽ ý tưởng mình đúng 
Từ giả thiết ta có thể thấy $p|q^7-q=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$ 
Như vậy ta có : $q^2+q+1 \ge p$  
Dễ chứng minh $f(x)=x^3-x$ là hàm đồng biến với $x>1$ 
Như vậy $p^3-p=q^7-q \le (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)$
Bất phương trình này cho ta $3 \ge q$ 
Như vậy ta tìm được nghiệm là $(p,q)=(13,3)$ 

[Namthemaster1234]

Có lẽ ý tưởng mình đúng 
Từ giả thiết ta có thể thấy $p|q^7-q=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$ 
Như vậy ta có : $q^2+q+1 \ge p$  
Dễ chứng minh $f(x)=x^3-x$ là hàm đồng biến với $x>1$ 
Như vậy $p^3-p=q^7-q \le (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)$
Bất phương trình này cho ta $3 \ge q$ 
Như vậy ta tìm được nghiệm là $(p,q)=(13,3)$ 

 

Chỗ này là vì sao ?

[I Love MC]

Chỗ này là vì sao ?

Với $q \ge 5$
Dễ chứng minh được$q^7>(q+1)^6$
giả sử $(q+1)^2 \ge p$ suy ra $q^7-q=p^3-p=p(p^2-1) \le (q+1)^2((q+1)^4-1)=(q+1)^6-q-1$ $q^7 \le (q+1)^6<(q+1)^6$ (mâu thuẫn) 
Vậy $p>(q+1)^2$ 
Từ đó ta có $p \mid q^7-q=q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ . Không có số nào thỏa chia hết cho $p$ 

[toannguyenebolala]

mình không hiểu chỗ này lắm. Tại sao p$\mid q^7-q$??????

[Namthemaster1234]

Với $q \ge 5$
Dễ chứng minh được$q^7>(q+1)^6$
giả sử $(q+1)^2 \ge p$ suy ra $q^7-q=p^3-p=p(p^2-1) \le (q+1)^2((q+1)^4-1)=(q+1)^6-q-1$ $q^7 \le (q+1)^6<(q+1)^6$ (mâu thuẫn) 
Vậy $p>(q+1)^2$ 
Từ đó ta có $p \mid q^7-q=q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ . Không có số nào thỏa chia hết cho $p$ 

Thế bạn cm:  $p > (q+1)^2 $ thì liên quan gì đến $p < q^2+q+1$. thậm chí còn phản chứng điều đó

[I Love MC]

Thế bạn cm:  $p > (q+1)^2 $ thì liên quan gì đến $p < q^2+q+1$. thậm chí còn phản chứng điều đó

Vậy thì để tớ sửa lời giải lại. Tớ ghi những gì tớ nghĩ trong đầu thôi  

[I Love MC]

 

Có lẽ ý tưởng mình đúng 
Từ giả thiết ta có thể thấy $p|q^7-q=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$ 
Với $q \ge 5$
Dễ chứng minh được$q^7>(q+1)^6$
giả sử $(q+1)^2 \ge p$ suy ra $q^7-q=p^3-p=p(p^2-1) \le (q+1)^2((q+1)^4-1)=(q+1)^6-q-1$ $q^7 \le (q+1)^6<(q+1)^6$ (mâu thuẫn) 
Vậy $p>(q+1)^2$ 
Từ đó ta có $p \mid q^7-q=q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ . Không có số nào thỏa chia hết cho $p$ 
Vậy phương trình cho ta cặp nghiệm $(p,q)=(13,3)$ 

 

[chanhquocnghiem]

Tìm $p,q$ nguyên tố thỏa mãn $p^3-q^7=p-q$

(Chỉnh lý lại lời giải của @ I Love MC)

 

$p^3-q^7=p-q\Rightarrow p(p^2-1)=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$

Suy ra $p$ là ước của $(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$

Để ý rằng $p$ là số nguyên tố nên nó phải là ước của ít nhất $1$ trong $5$ số $(q-1)$ ; $q$ ; $(q+1)$ ; $(q^2-q+1)$ ; $(q^2+q+1)$ và do đó nó phải không lớn hơn số lớn nhất trong $5$ số đó.Dễ thấy số lớn nhất trong $5$ số đó là $(q^2+q+1)$

Vậy $p\leqslant q^2+q+1$ (*)

Vì hàm $f(x)=x^3-x$ đồng biến trên $(1;+\infty)$ nên từ (*) ta có :

$p^3-p=q^7-q\leqslant (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)\Rightarrow q\leqslant 3$

Thử với $q=2$ và $q=3$, ta tìm được nghiệm duy nhất là $(p;q)=(13;3)$.

[hienhienhien]

$p^3-p=q^7-q\leqslant (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)\Rightarrow q\leqslant3$

tai sao bay