Tìm $p,q$ nguyên tố thỏa mãn $p^3-q^7=p-q$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 26-07-2015 - 18:34
Ý tưởng : Xét $q$ thì có $p=13$ làm nghiệm
Với $q=2$ thì không có nghiệm nguyên
Ta xét với $p>3$ thì với mọi $p,q$ thỏa $p>q$ đều có $p^3-q^7>p-q$ (dễ chứng minh được $p>q$)
Có lẽ ý tưởng mình đúng
Từ giả thiết ta có thể thấy $p|q^7-q=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$
Như vậy ta có : $q^2+q+1 \ge p$
Dễ chứng minh $f(x)=x^3-x$ là hàm đồng biến với $x>1$
Như vậy $p^3-p=q^7-q \le (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)$
Bất phương trình này cho ta $3 \ge q$
Như vậy ta tìm được nghiệm là $(p,q)=(13,3)$
Có lẽ ý tưởng mình đúng
Từ giả thiết ta có thể thấy $p|q^7-q=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$
Như vậy ta có : $q^2+q+1 \ge p$
Dễ chứng minh $f(x)=x^3-x$ là hàm đồng biến với $x>1$
Như vậy $p^3-p=q^7-q \le (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)$
Bất phương trình này cho ta $3 \ge q$
Như vậy ta tìm được nghiệm là $(p,q)=(13,3)$
Chỗ này là vì sao ?
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Chỗ này là vì sao ?
Với $q \ge 5$
Dễ chứng minh được$q^7>(q+1)^6$
giả sử $(q+1)^2 \ge p$ suy ra $q^7-q=p^3-p=p(p^2-1) \le (q+1)^2((q+1)^4-1)=(q+1)^6-q-1$ $q^7 \le (q+1)^6<(q+1)^6$ (mâu thuẫn)
Vậy $p>(q+1)^2$
Từ đó ta có $p \mid q^7-q=q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ . Không có số nào thỏa chia hết cho $p$
mình không hiểu chỗ này lắm. Tại sao p$\mid q^7-q$??????
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
Với $q \ge 5$
Dễ chứng minh được$q^7>(q+1)^6$
giả sử $(q+1)^2 \ge p$ suy ra $q^7-q=p^3-p=p(p^2-1) \le (q+1)^2((q+1)^4-1)=(q+1)^6-q-1$ $q^7 \le (q+1)^6<(q+1)^6$ (mâu thuẫn)
Vậy $p>(q+1)^2$
Từ đó ta có $p \mid q^7-q=q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ . Không có số nào thỏa chia hết cho $p$
Thế bạn cm: $p > (q+1)^2 $ thì liên quan gì đến $p < q^2+q+1$. thậm chí còn phản chứng điều đó
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Có lẽ ý tưởng mình đúng
Từ giả thiết ta có thể thấy $p|q^7-q=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$
Với $q \ge 5$
Dễ chứng minh được$q^7>(q+1)^6$
giả sử $(q+1)^2 \ge p$ suy ra $q^7-q=p^3-p=p(p^2-1) \le (q+1)^2((q+1)^4-1)=(q+1)^6-q-1$ $q^7 \le (q+1)^6<(q+1)^6$ (mâu thuẫn)
Vậy $p>(q+1)^2$
Từ đó ta có $p \mid q^7-q=q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ . Không có số nào thỏa chia hết cho $p$
Vậy phương trình cho ta cặp nghiệm $(p,q)=(13,3)$
Tìm $p,q$ nguyên tố thỏa mãn $p^3-q^7=p-q$
(Chỉnh lý lại lời giải của @ I Love MC)
$p^3-q^7=p-q\Rightarrow p(p^2-1)=(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$
Suy ra $p$ là ước của $(q-1)q(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$
Để ý rằng $p$ là số nguyên tố nên nó phải là ước của ít nhất $1$ trong $5$ số $(q-1)$ ; $q$ ; $(q+1)$ ; $(q^2-q+1)$ ; $(q^2+q+1)$ và do đó nó phải không lớn hơn số lớn nhất trong $5$ số đó.Dễ thấy số lớn nhất trong $5$ số đó là $(q^2+q+1)$
Vậy $p\leqslant q^2+q+1$ (*)
Vì hàm $f(x)=x^3-x$ đồng biến trên $(1;+\infty)$ nên từ (*) ta có :
$p^3-p=q^7-q\leqslant (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)\Rightarrow q\leqslant 3$
Thử với $q=2$ và $q=3$, ta tìm được nghiệm duy nhất là $(p;q)=(13;3)$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
$p^3-p=q^7-q\leqslant (q^2+q+1)^3-(q^2+q+1)\Rightarrow q\leqslant3$
tai sao bay
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh