Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right)\geq 2\sqrt{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
phamphucat

phamphucat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2=1$ Chứng minh:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right)\geq 2\sqrt{2}$


photo-116227.png?_r=1377943765


#2
ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

Điều kiện tương đương với: $(a+b)^2=1+2ab$

Bất đẳng thức tương đương với:

$\frac{a+b}{ab}-\frac{1}{ab}\geq 2\left ( \sqrt{2}-1 \right )$

$\Leftrightarrow a+b\geq 2(\sqrt{2}-1)ab+1$

$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq \left 4( \sqrt{2}-1 \right )\right ]^2(ab)^2+1+4\left ( \sqrt{2}-1 \right )ab+1$

$\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}$   (đúng theo am-gm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 07-04-2013 - 02:10

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#3
Nguyen Huy Tuyen

Nguyen Huy Tuyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2=1$ Chứng minh:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right)\geq 2\sqrt{2}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{b^2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{a^2}{b}-\frac{a^3+b^3}{ab}\geqslant \frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}-\frac{(a+b)(1-ab)}{ab}\geqslant \frac{2}{ab}-\frac{\sqrt{2}(1-ab)}{ab}=\frac{2}{ab}-\frac{\sqrt{2}}{ab}+\sqrt{2}$

thay vào đề ta có điều phải chứng minh (với $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{1}{ab}$)


Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh