Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2=1$ Chứng minh:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right)\geq 2\sqrt{2}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2=1$ Chứng minh:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right)\geq 2\sqrt{2}$
Điều kiện tương đương với: $(a+b)^2=1+2ab$
Bất đẳng thức tương đương với:
$\frac{a+b}{ab}-\frac{1}{ab}\geq 2\left ( \sqrt{2}-1 \right )$
$\Leftrightarrow a+b\geq 2(\sqrt{2}-1)ab+1$
$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq \left 4( \sqrt{2}-1 \right )\right ]^2(ab)^2+1+4\left ( \sqrt{2}-1 \right )ab+1$
$\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}$ (đúng theo am-gm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 07-04-2013 - 02:10
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2=1$ Chứng minh:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right)\geq 2\sqrt{2}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{b^2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{a^2}{b}-\frac{a^3+b^3}{ab}\geqslant \frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}-\frac{(a+b)(1-ab)}{ab}\geqslant \frac{2}{ab}-\frac{\sqrt{2}(1-ab)}{ab}=\frac{2}{ab}-\frac{\sqrt{2}}{ab}+\sqrt{2}$
thay vào đề ta có điều phải chứng minh (với $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{1}{ab}$)
Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh