Chứng minh rằng:
1.$\sin \frac{A}{2}< \frac{a}{2\sqrt{bc}}$
2.$\sin \frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}\leqslant \frac{1}{8}$
Với A,B,C là ba góc và a,b,c là ba cạnh đối diện A,B,C
1.
$\sin ^{2}\frac{A}{2}=\frac{1- \cos A}{2} =\frac{1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2} =\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{4bc}\leq \frac{a^{2}}{4bc}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $b=c$.
2.
$\left\{\begin{matrix} 0<\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}\\ 0< \sin \frac{B}{2}\leq \frac{b}{2\sqrt{ca}} \\ 0< \sin \frac{C}{2}\leq \frac{c}{2\sqrt{ab}} \end{matrix}\right.$
Nhân từng vế $3$ bất đẳng thức trên ta có
$\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ABC$ là tam giác đều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 07-04-2013 - 19:17