Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 –THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
= = = = = = = = = = = =
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: $P=\frac{a^2 -\sqrt{a}}{a+\sqrt{a} +1} -\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} +\frac{a-4}{\sqrt{a} -2}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN=$2\sqrt{10}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$
(Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4 -2y^4 -x^2y^2 -4x^2 -7y^2 -5 =0.$
2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn $a+b+c =1; a^2+b^2+c^2 =1; a^3+b^3 +c^3 =1$
Chứng minh rằng: $a^{2013} +b^{2013} +c^{2013}.$
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)
(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
------------------------Hết--------------------------
UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 –THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
= = = = = = = = = = = =
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: $P=\frac{a^2 -\sqrt{a}}{a+\sqrt{a} +1} -\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} +\frac{a-4}{\sqrt{a} -2}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN=$2\sqrt{10}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$
(Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4 -2y^4 -x^2y^2 -4x^2 -7y^2 -5 =0.$
2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn $a+b+c =1; a^2+b^2+c^2 =1; a^3+b^3 +c^3 =1$
Chứng minh rằng: $a^{2013} +b^{2013} +c^{2013}.$
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)
(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
------------------------Hết--------------------------
Câu 3b)
Ta có: a+b+c=1
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)=1$
$\Rightarrow ab+bc+ca=0$
Ta có:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc=1+3abc=1$
$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc=1+3abc=1$
$\Rightarrow$ a=0 hoặc b=0 hoặc c=0
Vậy $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1$
Câu 2.2)
Nhân với nhau ta có :$(x+y)^{2}(y+z)^{2}(x+z)^{2}=3600$
Do x,y,z dương nên $(x+y)(y+z)(x+z)=60$
nên $x+y=3, y+z=5, x+z=4$
do đó $x=1, y=2, z=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 08-04-2013 - 17:55
Thử làm xem :
Câu 4: 1. Dựng M sao cho OM=R$\sqrt{2}$
2. Luôn thuộc đường a//d cách d 1 khoảng = OH/2
Câu 5: 1. Đặt d= (a,b); a= da1; b=db1. Ta có: d2(a12+b12) = d(a1b1+7)
=> d(a12 + b12)=a1b1 +7 $\Rightarrow$ a1b1 +7 $\vdots$ (a12 +b12 )
$\Rightarrow$ a1b1 +7 $\geqslant$ a12+b12$\geqslant$2a1b1$\Rightarrow$ a1b1$\leqslant$ 7
Giả sử a$\geqslant$ b $\Rightarrow$ b12$\leqslant$ 7$\Rightarrow$ b1=1 hoặc b1=2
* Với b1=1 $\Rightarrow$ b=d; BCNN(a,b)=a $\Rightarrow$ a2 +b2=a+7b $\Rightarrow$ (a,b)= (4;4);(4;3);(3;1)
* Với b1=2 $\Rightarrow$ (a,b)=(3;2)
Đảo b$\geqslant$ a ta có các cặp (a,b) ...
2. Gọi M trung điểm AC. Trên tia đối tia BC lấy D sao cho BD=CB $\Rightarrow$ tam giác CAD cân tại C $\Rightarrow$ MD=AB=6.
G là gđ của MD và AB =>G trọng tâm tg ACD. =>AG=2/3 AB
SABC=3/2. SAGD =DH.AG.3/4 (H chân đcao hạ từ D xuống AB)
$\leq$ 3/4.GD.AG= 3/4.AG2=3/4.42=12
Dấu ''=" xảy ra $\Leftrightarrow$ GD v góc AB và GD=AG=4
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienthcsln: 17-04-2013 - 11:47
Câu 3a: Đặt x2 =a, y2 =b. phương trình trở thành a2 - 2b2 - ab - 4a - 7b - 5=0 (Điều kiện a, b >=0, a, b chính phương)
Xét phương trình bậc 2 ẩn a có delta= (b+4)2 +4.(2b2 + 7b + 5)= (3b+6)2 luôn chính phương
=> phương trình có nghiệm a=b+4 hoặc a=1
với a=b+4 <=> x2 = y2 + 4 <=> (x-y)(x+y)=4 , x,y nguyên => x, y. thay vào phương trình đầu bài
với a=1 <=> x2 = 1 <=> x=1 hoặc x= -1.thay vào phương trình đầu bài suy ra y
UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 –THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
= = = = = = = = = = = =
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: $P=\frac{a^2 -\sqrt{a}}{a+\sqrt{a} +1} -\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} +\frac{a-4}{\sqrt{a} -2}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN=$2\sqrt{10}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$
(Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4 -2y^4 -x^2y^2 -4x^2 -7y^2 -5 =0.$
2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn $a+b+c =1; a^2+b^2+c^2 =1; a^3+b^3 +c^3 =1$
Chứng minh rằng: $a^{2013} +b^{2013} +c^{2013}.$
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)
(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
------------------------Hết--------------------------
Bài 3:b)
Ta có:
$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=0\\ b+c=0\\ c+a=0 \end{matrix}\right.$
*Nếu $a+b=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=1\\ (a+b)^2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c^2=1\\ a^2+b^2=0\\ a^2+b^2+2ab=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=0\Leftrightarrow a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\Rightarrow Q.E.D$
Tương tự với 2TH còn lại
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
Câu 2: 2)Từ đề bài ta su ra được $(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}=12.15.20=3600\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=60$ hoặc $(x+y)(y+z)(z+x)=-60$. Xét trường 2 trường hợp ta tìm được x,y,z
Câu 3b.Chứng minh $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1$ phải không bạn.
Câu 3b.Chứng minh $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1$ phải không bạn.
Nếu như vậy thì: Từ giả thiết ta có $(a+b+c)^{3}=1=a^{3}+b^{3}+^{3}\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$ nên ít nhất trong 3 số a,b,c có 2 số có tổng bằng 0 và số còn lại phải bằng 1 nên $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1$
Câu 2.b.Dựng OH vuông góc với AB nên OH =const nên $\frac{OH}{2}$=const.Vì tâm đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P là trung điểm OM nên điểm này luôn thuộc đường thẳng song song với đường thẳng d và cách d một khoảng bằng $\frac{OH}{2}$. (Sử dụng đường trung bình)
UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 –THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
= = = = = = = = = = = =
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: $P=\frac{a^2 -\sqrt{a}}{a+\sqrt{a} +1} -\frac{3a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} +\frac{a-4}{\sqrt{a} -2}$
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN=$2\sqrt{10}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} (x+y)(x+z) =12 & \\ (y+x)(y+z) =15 & \\ (z+y)(z+x) =20 & \end{Bmatrix}$
(Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4 -2y^4 -x^2y^2 -4x^2 -7y^2 -5 =0.$
2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn $a+b+c =1; a^2+b^2+c^2 =1; a^3+b^3 +c^3 =1$
Chứng minh rằng: $a^{2013} +b^{2013} +c^{2013}.$
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2 +b^2$ =[a,b] +7(a,b)
(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
------------------------Hết--------------------------
Câu 4:
2, Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow$I cố định
Ta có: $\widehat{MNO}=\widehat{MPO}=\widehat{MIO}=90^{0}$
$\Rightarrow$ M,N,P,O,I cùng thuộc một đường tròn
$\Rightarrow$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thuộc trung trực OI cố định
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Ai có đáp án thi tỉnh BNinh này k? Cho xin với.....................................
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
15 bài toán hình học từ kỳ thi chọn Học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Ninh Bình (từ 2009 đến 2023)Bắt đầu bởi HaiDangPham, 01-05-2023 toán 9, hình học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 thành phố Đà Nẵng năm học 2022 - 2023Bắt đầu bởi vancongnam, 10-02-2023 học sinh giỏi, đà nẵng và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
bất đẳng thứcBắt đầu bởi tinhyeutoanhoc2k7, 14-10-2021 đề thi lớp 9 cấp huyện vòng 1 và . |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $P\geq 3$Bắt đầu bởi Monkey Moon, 27-05-2019 toán 9, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Tìm vị trí điểm $M$Bắt đầu bởi Monkey Moon, 25-05-2019 toán 9, hình học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh