Tình tổng sau:
$$S=\sum^n_{k=0} 3^{2k}\binom{2n+1}{2k}$$
$$S=\sum^n_{k=0} 3^{2k}\binom{2n+1}{2k}$$
#1
Đã gửi 08-04-2013 - 18:58
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#2
Đã gửi 08-04-2013 - 19:58
Tình tổng sau:
$$S=\sum^n_{k=0} 3^{2k}\binom{2n+1}{2k}$$
Xét khai triển sau $(x+3)^{2n+1}=\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}3^{k}x^{2n+1-k}$
Cho $x=1$ thì $\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}3^{k}=4^{2n+1}$
Cho $x=-1$ thì $2^{2n+1}=\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}3^{k}(-1)^{2n+1-k}=\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^{k+1}3^{k}\binom{2n+1}{k}$.
Suy ra :
$$\sum_{k=0}^{n}3^{2k}\binom{2n+1}{2k} = \frac{{\sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {{3^k}\dbinom{2n + 1}{k}} - \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {{3^k}{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\dbinom{2n + 1}{k}} }}{2} = \frac{{{4^{2n + 1}} - {2^{2n + 1}}}}{2} = {2^{4n + 1}} - {2^{2n}}$$
- hxthanh và nthoangcute thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh