Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $k,n \in \mathbb{Z}$ sao chp $7^k-3^n | k^4+n^2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
em yeu chi anh

em yeu chi anh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Tìm $k,n \in \mathbb{Z}$ sao cho $7^k-3^n | k^4+n^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 08-04-2013 - 19:33

Sẽ cố gắng mọi điều trong cuộc sống vì anh và vì chính em!!!

Mong rằng sau này có thể giúp đỡ anh nhiều!!!


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Tìm $k,n \in \mathbb{Z}$ sao cho $7^k-3^n | k^4+n^2$

 

 

Giải như sau:
Vì $7^m-3^n$ chẵn nên suy ra $m^4+n^2$ chẵn nên $(m,n)=(chẵn, chẵn),(lẻ ,lẻ)$
Nếu $(m,n)=(lẻ , lẻ)$ suy ra $m^4+n^2 \equiv 2 \pmod{4}$ còn $7^m-3^n \equiv 7-3 \equiv 0 \pmod{4}$ loại
Do đó $(m,n)=(chẵn, chẵn)$
Đặt $m=2k,n=2q ,k,q>0$
Khi đó $(2k)^4+(2q)^2 \vdots (7^k-3^q)(7^k+3^q) \rightarrow (2k)^4+(2q)^2 \vdots (7^k+3^q) \rightarrow (2k)^4+(2q)^2 \geq 7^k+3^q$ (chú ý chỗ $7^k-3^q$ có thể thành $3^q-7^k$ khi $3^q>7^k$ nhưng điều này không ảnh hưởng gì!)
Do đó ta có $$(2k)^4+(2q)^2 \geq 7^k+3^q<*>$$
Nhận thấy $(2k)^4,7^k$ là một cặp gọi tạm là "hàm số học đồng biến sau nghịch biến" (mình bịa tên :P) có nghĩa $k$ tăng thì $(2k)^4>7^k$ nhưng một lúc nào đó khi $k$ tăng $(2k)^4<7^k$
Mặt khác $k=1,2,3,4$ thì $(2k)^4>7^k$ còn khi $k\geq 5$ ta sẽ chứng minh $(2k)^4<7^k$ bằng quy nạp $<1>$
Giả sử $k=u$ đúng hay $(2u)^4<7^u$ với $u\geq 5$
Ta sẽ cm $k=u+1$ cũng đúng hay $(2(u+1))^4<7^{u+1}$
Thật vậy vì ta giả sử
$$(2u)^4<7^u \rightarrow 7(2u)^4<7^{u+1} \rightarrow (\sqrt[4]{7}.2u)^4<7^{u+1} \rightarrow (1,6.2u)^2<(\sqrt[4]{7}.2u)^4<7^{u+1}$$
Giờ nhận thấy $1,6.2u=2u+0,6.2u>2u+2$ (do $u\geq 5$)
Như vậy $<1>$ được cm
Tương tự với cặp $(2q)^2$ và $3^q$
Với $q=1,2,3$ thì $(2q)^2>3^q$ còn nếu $q\geq 4 \rightarrow (2q)^2<3^q$ (cm tương tự như trên)
Do đó ta có nhận định $$(2q)^2<3^q, q\geq 4<2>$$
Giờ ta xét
TH1: Nếu $q\geq 4$ theo $<2>$ suy ra $(2q)^2<3^q$ nhưng do $<*>$ suy ra $(2k)^4>7^k$ đến đây do $<1>$ suy ra $k=1,2,3,4$
Nếu $k=1$ suy ra $16+(2q)^2\geq 7+3^q$ (thay vào $<*>$) suy ra $9+(2q)^2\geq 3^q$
Đến đây lại xét vài TH $q=1,2,3$ thì $9+(2q)^2\geq 3^q$ đúng còn $q \geq 4$ thì sai (cm quy nạp tương tự cái trên)
Nếu $k=2,3,4$ xét tương tự có điều $q$ xét dài ra thôi
TH2: Nếu $q\le 3 \rightarrow q=1,2,3$
Nếu $q=1$ lại thay vào $<*>$ xét y như TH1 trên
Nếu $q=2,3$ tương tự
Đáp số $\boxed{(k,q)=(1,2) \rightarrow (m,n)=(2,4)}$

P/S bài này mà viết đầy đủ từng chỗ cm quy nạp thì dài cớ 4-5 trang giấy thi :D






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh