Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=\sqrt{3};x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}$. Tìm $a\in \mathbb{R}$ để dãy số $y_n=\frac{x_n}{a^n}$ hội tụ.

[An Infinitesimal]

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=\sqrt{3};x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}$. Tìm $a\in \mathbb{R}$ để dãy số $y_n=\frac{x_n}{a^n}$ hội tụ.

 

Hiển nhiên, $\lim x_n=\infty.$ Do đó $a>1.$

Gọi $a$ là một số thực sao cho $\lim \frac{x_n}{a^n}$ tồn tại.

Đặt $b= \lim \frac{x_n}{a^n}\ge 0.$

Ta có 

$$ 3x_n\le x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}\le 3x_n+2.\quad \quad\quad (***)$$

Do đó

$x_n \ge 3^n.$ Suy ra $a\ge 3.$

Hiển nhiên nhờ BĐT (***), ta thấy $a=3$ thỏa.

Suy ra với mọi a\ge 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 17-01-2017 - 15:05