Chủ đề này có 8 trả lời

[phudinhgioihan]

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2013

 

Ngày thi 10/4/2013

Thời gian: 180 phút

 

Câu 1: $$\left\{\begin{matrix} -x_1&+\; x_2  &+\;x_3  &...  & +\; x_n & =1\\ x_1&-5x_2  &+\;x_3  & ... & +\;x_n &=1 \\ ...&  & ... &  & ... & \\ x_1&+\;x_2 &+\;x_3  &...  & -\;[n( n+1)-1]x_n  &=1 \\\end{matrix}\right. $$

 

a) Giải hệ phương trình với $n=5 $.

b) Giải phương trình với n bất kỳ.

 

Câu 2: Cho $f_1(x),...,f_n(x) $ lần lượt là các nguyên hàm nào đó của các hàm số $e^x,...,e^{x^n} , \; n \ge 1 $. Chứng minh rằng các hàm số này độc lập tuyến tính trong không gian $C[0;1]$ các hàm liên tục trên $[0;1]$.

 

Câu 3: Cho $a_0,a_1,...,a_n$ là các số thực, $n \ge 2 $. Tính định thức

 

$$D_n=\begin{vmatrix}
a_0-a_1 &a_1  &0  &0  & \cdots  &0  & 0 & \\
 -a_1& a_1-a_2 &a_2  & 0 &\cdots   & 0 & 0 & \\
 0& -a_2 &a_2-a_3 a_3 & 0 & \cdots  & 0 & 0 & \\
. & . & . & . &.  & . & . & \\
 0&0  &0  & 0 &\cdots   & -a_{n-1} &a_{n-1}-a_n  &
\end{vmatrix}$$

 

Câu 4: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ trên $\mathbb{R}$ sao cho $A^2B=BA^2 $. Chứng minh rằng ma trận $AB-BA$ luỹ linh.

 

Câu 5: Cho $a$ là một số nguyên lẻ và $b_1,b_2,...,b_n$ là các số nguyên sao cho $b_1+...+b_n$ lẻ, $n \ge 1 $. Chứng minh rằng đa thức

 

$$P(x)= a x^{n+1}+b_1x^n+...+b_nx+a $$

 

không có nghiệm hữu tỷ.

 

Câu 6: Có bao nhiêu ma trận vuông cấp n có đúng $n+1$ phần tử 1, các phần tử còn lại bằng $0$ và có định thức bằng 1?

[phudinhgioihan]

Ức chế nhất là đề thi có câu sai là tốn quá nhiều thời gian. Câu 4, đề sai! Ta có thể lấy $A=\begin{pmatrix}
0 &1 \\
 1& 0
\end{pmatrix}$ thì $A^2=I$

 

Với $B=\begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} $ thì hiển nhiên $A^2B=BA^2 $ nhưng

 

$$AB-BA= \begin{pmatrix}
c-b &d-a \\
 a-d& b-c
\end{pmatrix} $$

 

$$ \det(AB-BA)=(a-d)^2-(b-c)^2 $$

 

Do đó ta có thể chọn $B$ sao cho $\det(AB-BA) \neq 0$ nên $AB-BA$ không lũy linh!

[NLT]

Anh Phudinhgioihan cũng đi thi ạ? Làm được bao nhiêu phần trăm vậy anh

[leminhansp]

Năm nào đề cũng có sự cố! Buồn
BTC năm nào cũng tự bắn vào uy tín của kì thi... Mà đề hình như không phải do một hội đồng ra đề mà do một thầy ra hay sao ấy nhỉ 
 

 

@phudinhgioihan: Hình như là thầy Mậu soạn đề

@vo van duc: Thầy Mậu năm nay không ra đề. Hình như bên hội toán học có chuyện gì hay sao ấy. Thầy Lê Tuấn Hoa chỉ vào hôm trao giải thôi nhưng không nói gì hết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 15-04-2013 - 17:58

[HeilHitler]

 

Bài 6: Ta định nghĩa một ma trận tiêu chuẩn là ma trận thu được bằng cách thay một phần tử tùy ý có giá trị 0 ở ma trận đơn vị thành giá trị 1. Để ý rằng định thức của mọi ma trận tiêu chuẩn đều bằng 1. Như vậy ta có thể giải bài toán bằng một nhận xét sau:

Gọi A là ma trận thõa mãn các yêu cầu của bài toán, thế thì mỗi hàng và mỗi cột của ma trận phải có ít nhất 1 phần tử là 1 (để đảm bảo định thức khác 0). Nhờ vào tính chất này, có thể đổi chỗ các cột của A để thu được một ma trận tiêu chuẩn, và dựa vào việc detA=1 suy ra số lần đổi chỗ các cột phải là số chẵn. Như vậy ta có thể tạo ra A bằng cách đổi chỗ số chẵn lần các cột của một ma trận tiêu chuẩn tùy ý.

Số ma trận tiêu chuẩn là: $n(n-1)$.

Số ma trận tạo ra bằng cách đổi chỗ các cột với số chẵn lần là: $\frac{n!}{2}$.

Như vậy số ma trận cần tìm là $\frac{n!(n^2-n)}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 10-04-2013 - 17:52

[phudinhgioihan]

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2013

Ngày thi 10/4/2013

Thời gian: 180 phút

 

 

Câu 1. Cho $x_1 = a \in \mathbb{R}$ và dãy $(x_n)$ được xác định bởi $(n+1)^2 x_{n+1} = n^2 x_n + 2n+1$. Tìm $\lim\limits_{x \to \infty} x_n$.

Câu 2. Tìm giới hạn
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} \frac{nx^n}{2013+x^n} dx. $$

Câu 3. Cho $\alpha \leq \beta \le 0$. Hãy tìm các hàm số $f : (0, \infty ) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \}$ với mọi $ x \in \ (0,\infty). $

Câu 4. Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trong $(0,1)$ thỏa mãn $f(0)=0 ; f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại các số phân biệt $x_1,x_2,\ldots,x_{2013} \in (0,1)$ sao cho
$$ \sum_{k=1}^{2013} \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{2013 \times 1007}{2}. $$

Câu 5. Cho $f(x)$ là hàm dương, liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện $ f(x)+f\left( \left( 1-\sqrt{x} \right)^2 \right) \le 1 $ với mọi $x \in [0,1]$.  Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \sqrt{f(x)} \, dx \le \frac{\pi\sqrt5}{8}. $$

Câu 6: Thí sinh chọn một trong hai câu:

a) Cho $(a_n)$ là dãy số dương sao cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ hội tụ. Chứng minh rằng tồn tại dãy số dương $(b_n)$ sao cho $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \infty$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n < \infty$ cũng hội tụ.
b) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm $g(x)$ đơn điệu thực sự (tức là đơn điệu và $g(x) \ne g(x)$ nếu $x \ne y$) và liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho
$$ \int_0^1 f(x)g^k(x)\,d(x)=0, \ \ \forall k=0,1,\ldots,2013 $$
thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 2014 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $(0,1)$.
Hãy chỉ ra thí dụ nếu bỏ tính đơn điệu của hàm $g(x)$ thì định lý có thể không đúng.
 

[letrongvan]

Năm nào đề cũng có sự cố! Buồn
BTC năm nào cũng tự bắn vào uy tín của kì thi... Mà đề hình như không phải do một hội đồng ra đề mà do một thầy ra hay sao ấy nhỉ 
 

 

@phudinhgioihan: Hình như là thầy Mậu soạn đề

Năm ngoái sai đề giải tích, năm nay sai đề đại số :|

[YeuEm Zayta]

Câu 5,đa thức đề đại số lấy trong sách Đa Thức của Thây Phan Huy Khải ,câu 26,p 55

[codonkl93]

ai có thể giải mấy bài trong đề cho m được không