ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2013
Ngày thi 10/4/2013
Thời gian: 180 phút
Câu 1: $$\left\{\begin{matrix} -x_1&+\; x_2 &+\;x_3 &... & +\; x_n & =1\\ x_1&-5x_2 &+\;x_3 & ... & +\;x_n &=1 \\ ...& & ... & & ... & \\ x_1&+\;x_2 &+\;x_3 &... & -\;[n( n+1)-1]x_n &=1 \\\end{matrix}\right. $$
a) Giải hệ phương trình với $n=5 $.
b) Giải phương trình với n bất kỳ.
Câu 2: Cho $f_1(x),...,f_n(x) $ lần lượt là các nguyên hàm nào đó của các hàm số $e^x,...,e^{x^n} , \; n \ge 1 $. Chứng minh rằng các hàm số này độc lập tuyến tính trong không gian $C[0;1]$ các hàm liên tục trên $[0;1]$.
Câu 3: Cho $a_0,a_1,...,a_n$ là các số thực, $n \ge 2 $. Tính định thức
$$D_n=\begin{vmatrix}
a_0-a_1 &a_1 &0 &0 & \cdots &0 & 0 & \\
-a_1& a_1-a_2 &a_2 & 0 &\cdots & 0 & 0 & \\
0& -a_2 &a_2-a_3 a_3 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \\
. & . & . & . &. & . & . & \\
0&0 &0 & 0 &\cdots & -a_{n-1} &a_{n-1}-a_n &
\end{vmatrix}$$
Câu 4: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ trên $\mathbb{R}$ sao cho $A^2B=BA^2 $. Chứng minh rằng ma trận $AB-BA$ luỹ linh.
Câu 5: Cho $a$ là một số nguyên lẻ và $b_1,b_2,...,b_n$ là các số nguyên sao cho $b_1+...+b_n$ lẻ, $n \ge 1 $. Chứng minh rằng đa thức
$$P(x)= a x^{n+1}+b_1x^n+...+b_nx+a $$
không có nghiệm hữu tỷ.
Câu 6: Có bao nhiêu ma trận vuông cấp n có đúng $n+1$ phần tử 1, các phần tử còn lại bằng $0$ và có định thức bằng 1?