Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Canada National Olympiad 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 10-04-2013 - 15:12

Câu 1: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho: 

 

$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$

 

là đa thức hằng.

 

Câu 2: Dãy số $a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{n}$ bao gồm các số $1,2,3,...,n$ theo thứ tự. Tìm $n$ sao cho $n+1$ số :$0,a_{1},a_{1}+a_{2},...,a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ có số dư khác nhau khi chia cho $n+1$

 

Câu 3: Cho $G$ là trọng tâm của tam giác vuông $ABC$ có $\angle BCA=90$. Cho $P$ là điểm nằm trên tia $AG$ sao cho $\angle CPA=\angle CAB$ và $Q$ là điểm nằm trên tia $BG$ sao cho $\angle CQB=\angle ABC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AQG$ và $BPG$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên cạnh $AB$

 

Câu 4: Cho $n$ là 1 số nguyên dương, Với các số $j$ nguyên dương và $m$ thực dương, gọi $f_{i}(m)$ và $g_{j} (m)$ là:

 

$f_{j} (m)=min(jm,n)+min(\frac{j}{m},n)$ và $g_{j} (m)=min(\left \lceil jm \right \rceil,n)+min(\left \lceil \frac{j}{m} \right \rceil,n)$

 

Chứng minh rằng:

 

$\sum_{j=1}^{n}f_{j}(m)\leq n^{2}+n\leq \sum_{j=1}^{n}g_{j}(m)$

 

với mọi số thực dương $m$.

 

Câu 5: Cho $O$ là trọng tâm của 1 tam giác nhọn $ABC$. Cho điểm $P$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $\angle BOP=\angle ABC$, và điểm $Q$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $\angle COQ=\angle ACB$. Chứng minh rằng hình chiếu của $BC$ trên đường thẳng $PQ$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$



#2 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 10-04-2013 - 17:20

Câu 1: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho: 

 

$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$

 

là đa thức hằng.

 

Bài làm:

Đặt $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=k (*)$

*) Với $x=1 \Rightarrow P(0)=k$

*) Với $x=-1 \to P(-1)=k$

Nên $P(x)-k$ có 2 nghiệm $0;-1$

$\to P(x)=x(x+1)Q(x)+k$

 

Thay vào $(*)$ ta có: 

$(x+1)[(x-1)xQ(x-1)+k]-(x-1)[x(x+1)Q(x)+k]=k$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)[Q(x+1)-Q(x)]=k$

Nên $Q(x+1) \equiv Q(x)$

$\to Q(x) =c$ là hằng số

Vậy $P(x)=cx(x+1)+k$ với c;k là hằng số. $\blacksquare$


 


Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 01-05-2013 - 10:17

Câu 3: Cho $G$ là trọng tâm của tam giác vuông $ABC$ có $\angle BCA=90$. Cho $P$ là điểm nằm trên tia $AG$ sao cho $\angle CPA=\angle CAB$ và $Q$ là điểm nằm trên tia $BG$ sao cho $\angle CQB=\angle ABC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AQG$ và $BPG$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên cạnh $AB$

 

 

 

 

 

 

 


 

Giải như sau

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$N$ là hình chiếu của $C$ xuống $AB$

Từ đề bài ta có $ \angle CPA=\angle CAB=\angle ACM\equiv\angle ACG $

Nên $AC$ là tiếp tuyến $(CPG)$

$ \Longrightarrow $ $AC^2=AG.AP$

Lại có $AC^2=AN.AB$

Nên $AG.AP=AB.AN$ hay $B,P,G,N$ đông viên

tương tự $A,G,N,Q$ đồng viên 

hay $(BPG)$ cắt $(AGQ)$ tại $1$ điểm trên $AB$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 01-05-2013 - 10:18

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh