Câu 1: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho:
$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$
là đa thức hằng.
Câu 2: Dãy số $a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{n}$ bao gồm các số $1,2,3,...,n$ theo thứ tự. Tìm $n$ sao cho $n+1$ số :$0,a_{1},a_{1}+a_{2},...,a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ có số dư khác nhau khi chia cho $n+1$
Câu 3: Cho $G$ là trọng tâm của tam giác vuông $ABC$ có $\angle BCA=90$. Cho $P$ là điểm nằm trên tia $AG$ sao cho $\angle CPA=\angle CAB$ và $Q$ là điểm nằm trên tia $BG$ sao cho $\angle CQB=\angle ABC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AQG$ và $BPG$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên cạnh $AB$
Câu 4: Cho $n$ là 1 số nguyên dương, Với các số $j$ nguyên dương và $m$ thực dương, gọi $f_{i}(m)$ và $g_{j} (m)$ là:
$f_{j} (m)=min(jm,n)+min(\frac{j}{m},n)$ và $g_{j} (m)=min(\left \lceil jm \right \rceil,n)+min(\left \lceil \frac{j}{m} \right \rceil,n)$
Chứng minh rằng:
$\sum_{j=1}^{n}f_{j}(m)\leq n^{2}+n\leq \sum_{j=1}^{n}g_{j}(m)$
với mọi số thực dương $m$.
Câu 5: Cho $O$ là trọng tâm của 1 tam giác nhọn $ABC$. Cho điểm $P$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $\angle BOP=\angle ABC$, và điểm $Q$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $\angle COQ=\angle ACB$. Chứng minh rằng hình chiếu của $BC$ trên đường thẳng $PQ$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$