Chủ đề này có 5 trả lời

[xuantrandong]

rút gọn:

$A=(1+\frac{1}{cos2a})(1+\frac{1}{cos4a})...(1+\frac{1}{cos2^{n}a})$

$B=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2cosa}}}}$ ( n dấu căn, 0$\leq$a$\leq 180$

$C=tga.tg2a+tg2a.tg3a+tg3a.tg4a+...+tg(n-1)a.tgna$

$D=\frac{1}{cosa.cos2a}+\frac{1}{cos2a.cos3a}+...+\frac{1}{cos(n-1)a.cosna}+\frac{1}{cosna.cos(n+1)a}$

$E=\frac{1}{sina.sin2a}+\frac{1}{sin2a.sin3a}+...+\frac{1}{sin na.sin(n+1)a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-04-2013 - 16:54

[LzuTao]

rút gọn:

$A=(1+\frac{1}{cos2a})(1+\frac{1}{cos4a})...(1+\frac{1}{cos2^{n}a})$

$A=(1+\frac{1}{\cos2a})(1+\frac{1}{\cos4a})...(1+\frac{1}{\cos2^{n}a})\\=\frac{\cos2a+1}{\cos2a}\cdot \frac{\cos4a+1}{\cos4a}\cdots\frac{\cos2^na+1}{\cos2^na}\\=\frac{2\cos^2a\cdot 2\cos^22a\cdots2\cos^22^{n-1}a}{\cos2a\cdot \cos4a\cdots\cdot \cos2^na}\\=\frac{2^n\cos a}{\cos2^na}\cdot \cos a\cdot \cos2a\cdots \cos2^{n-1}a\\=\frac{2^n\cos a}{\sin a\cos2^na}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \sin2^na\\=\tan2^na\cot a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 09-08-2015 - 10:39

[LzuTao]

rút gọn:

$B=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2cosa}}}}$ ( n dấu căn, 0$\leq$a$\leq 180$

http://diendantoanho...osfracalpha-2n/

Và $\sqrt {2 + 2\cos \alpha } = \sqrt {4{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2}} = 2\cos \frac{\alpha }{2}$ vì $\frac{\alpha}{2} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 09-08-2015 - 11:09

[LzuTao]

rút gọn:

$C=tga.tg2a+tg2a.tg3a+tg3a.tg4a+...+tg(n-1)a.tgna$

Ta có: $$\tan[na-(n-1)a]=\frac{\tan na-\tan(n-1)a}{1+\tan\left ( n-1 \right )a\cdot \tan na}\\\Rightarrow \tan\left ( n-1 \right )a\cdot \tan na=\frac{\tan na-\tan(n-1)a}{\tan a}-1$$

Do đó: $C=\tan a\cdot \tan2a+\tan2a\cdot\tan3a+\cdots+\tan\left ( n-1 \right )a\cdot \tan na\\=\frac{\tan na-\tan a}{\tan a}-n=\frac{\tan na-n\tan a}{\tan a}$

 

[LzuTao]

 

rút gọn:

$D=\frac{1}{cosa.cos2a}+\frac{1}{cos2a.cos3a}+...+\frac{1}{cos(n-1)a.cosna}+\frac{1}{cosna.cos(n+1)a}$

Nhân $D$ với $\cos a$ và chú ý:

$$\cos a=\cos(2a-a)=\cos2a \cos a+\sin2a \sin a\\\cos(3a-2a)=\cos3a\cos2a+\sin3a\sin2a\\\cdots\\\cos[(n+1)a-na]=\cos na\cos(n+1)a+\sin na\sin(n+1)a$$

Do đó: $D\cdot \cos a=n+\sum \tan na\cdot \tan(n+1)a=n+\frac{\tan(n+1)a- (n+1)\tan a}{\tan a}=\frac{\tan(n+1)a- \tan a}{\tan a}\\\Rightarrow D=\frac{\tan(n+1)a- \tan a}{\sin a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 09-08-2015 - 11:52

[LzuTao]

rút gọn:

$E=\frac{1}{sina.sin2a}+\frac{1}{sin2a.sin3a}+...+\frac{1}{sin na.sin(n+1)a}$

Ta có:$$\frac{\sin a}{\sin a\sin2a}=\frac{\sin(2a-a)}{\sin a\sin2a}=\cot a-\cot2a\\\frac{\sin(3a-2a)}{\sin2a\sin3a}=\cot3a-\cot2a\\\cdots\\\frac{\sin \left [(n+1)a-\sin na  \right ]}{\sin na.\sin(n+1)a}=\cot(n+1)a-\cot na$$

Suy ra: $E=\frac{\cot a+\cot(n+1)a}{\sin a}$