Chủ đề này có 3 trả lời

[henry0905]

Hỏi 3 đường tròn bán kính 0.5 có phủ hết hình vuông có cạnh bằng 1 không?

[gogo123]

Spoiler

Nhìn có vẻ đơn giản mà khi làm ra thì thấy thật... đơn giản. .

Câu trả lời là không.

Ta sẽ chứng minh bài toán thông qua việc chứng minh chúng không phủ hết cạnh của hình vuông.(mấu chốt).

    Trước hết xét một $(O,R)$ và một góc vuông $Axy$ sao cho $(O,R)$ cắt hai cạnh của góc lần lượt tại $M;N$.

    Ta có: (Hình vẽ) $AM^2+AN^2=MN^2 \leq (2R)^2=4R^2$

    Mặt khác theo AM-GM thì $AM^2+AN^2 \geq \frac{(AM+AN)^2}{2}$

 $\Rightarrow AM+AN \leq 2\sqrt{2}R$.

Trở lại bài toán ban đầu, ta dựng các đường tròn bán kính $0,5$ có tâm là các đỉnh của hình vuông, suy ra 2 đường tròn bất kì trong số chúng có chung nhau nhiều nhất 1 đỉnh.

Mặt khác 3 đường tròn đã cho phủ hết 4 đỉnh nên mỗi đường tròn ta mới vẽ chứa ít nhất một tâm của các hình tròn đã cho.

Theo nguyên lí Dirichle (3 đường tròn ,4 điểm) thì tồn tại một tam là tiếp điểm của 2 đường tròn (trung điểm một cạnh).

Như vậy còn 3 cạnh hình vuông hoàn toàn chưa bị phủ (tổng độ dài của chúng là 3).

Mà chỉ còn 2 đường tròn nên theo nhận xét ban đâu thì chúng phủ nhiều nhất tổng độ dài $4\sqrt{2}R=2\sqrt{2}<3$  (Vô lí).

Vậy ta có đpcm.

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 14-04-2013 - 20:33

[cool hunter]

[spoiler] Như vậy còn 3 cạnh hình vuông hoàn toàn chưa bị phủ (tổng độ dài của chúng là 3).

Mà chỉ còn 2 đường tròn nên theo nhận xét ban đâu thì chúng phủ nhiều nhất tổng độ dài $4\sqrt{2}R=2\sqrt{2}<3$  (Vô lí).

 

 

c viêts rõ đoạn này đc không, t không hiêủ lăsm

[gogo123]

Thì chúng ta còn 3 cạnh chưa bị phủ hết , nên nhất thiết 2 đường tròn còn lại phải phủ hết chúng. Mặt khác hai đường tròn còn lại nếu phủ các góc vuông thì chỉ phủ được nhiều nhất tổng độ dài các cạnh góc vuông là $4\sqrt{2}R$