Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] - Trận 26 - PT, HPT


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 22 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Vào hồi 21h, Thứ Sáu, ngày 12/04/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài làm của MSS50-lenhathoang1998

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}

   {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-3xy({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=0(1)  \\

   x+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}=1(2)  \\

\end{matrix} \right.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow ({{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}})-3xy({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy)=0$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}^{2}}-3xy{{(x-y)}^{2}}=0$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}{{(x+y)}^{2}}-3xy{{(x-y)}^{2}}=0$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy)=0$

Xét 2 TH:

TH1: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=0\Leftrightarrow {{(x-\frac{y}{2})}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}=0\Leftrightarrow x=y=0$

Thay $x=y=0$ vào PT $(2)$, ta thấy phương trình vô nghiệm.

TH2: $x=y$

Thay $x=y$ vào phương trình $(2)$, ta có:

$\left( 2 \right)\Leftrightarrow x+{{x}^{3}}+{{x}^{3}}-{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=1\Leftrightarrow x=1$

Vậy $x=y=1$

Thử lại thấy đúng

Vậy HPT có 1 cặp nghiệm $x=y=1$

 

Bài làm còn lỗi Latex

Điểm bài 10

S = 26 + 10*3 = 56


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 09:46
Chấm bài


#4
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

 

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

Bài làm  :
Từ phương trình đầu 

$x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0$

$\Leftrightarrow x^4+y^4 +6x^2y^2 -4xy(x^2+y^2) +xy(x^2+y^2)-2x^2y^2 =0$

$\Leftrightarrow (x-y)^4 +xy[(x-y)^2+2xy) -2x^2y^2 =0$

$\Leftrightarrow (x-y)^4 +xy(x-y)^2 =0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2[(x-y)^2 +xy)] =0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x^2 -xy+y^2 =0$

Mà $x^2 +y^2 -xy =(x-\frac{1}{2}y)^2 +\frac{3y^2}{4} > 0 \forall x,y$

$\Rightarrow x=y$

Thay vào pt 2  $x +x^3 +x^2y -xy^2 -y^3 =1$

$\Rightarrow x=1 \Rightarrow x=y=1$

 

Chỗ màu đỏ chưa chính xác

Điểm bài: 9

S = 26+9*3 = 53


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 09:47
Chấm bài


#5
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Bài làm của daovuquang:

Theo giả thiết, ta có hệ: $\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$

tương đương với $\begin{cases} (x-y)^2(x^2-xy+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1\; (*) \end{cases}$

Trường hợp 1: $(x-y)^2=0 \Leftrightarrow x=y$

Thay vào $(*)$, ta có: $x+x^3+x^3-x^3-x^3=1$

$\Leftrightarrow x=1$.

Suy ra $x=y=1$.

Trường hợp 2: $x^2-xy+y^2=0$

$\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{y}{2}$ và $\frac{3y^2}{4}=0$ (do vế trái $\geq 0$ nên dấu đẳng thức phải xảy ra)

$\Leftrightarrow x=y=0$.

Khi đó ta thay vào $(*)$ thì lại có $0=1 \Rightarrow$ loại.

Kết luận: Vậy $x=y=1$.

 

Điểm bài 10

S = 26 + 10*3 = 56


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 09:48
Chấm bài


#6
duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Xét $x=0$ thay vào phương trình $(2)$ ta được: $y=-1$

Với $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.$ thay vào phương trình $(1)$ không thỏa mãn

Tương tự xét $y=0$ cũng không thỏa mãn

 

Với $x,y\neq 0$ 

Ta có: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ x^{4}+y^{4}-xy(x^{2}+y^{2}) \right ]+4x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{3}-y^{3})(x-y)-2xy(x-y)^{2}=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})-2xy(x-y)^{2}=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right.$

(Vì $x^{2}-xy+y^{2}=\left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}y^{2}> 0\forall x;y\neq 0$)

 

Với $x=y$ thay vào phương trình $(2)$ ta được: $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow x=y=1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)$ là $(1;1)$

 

Điểm bài 10

S = 25 + 10*3 = 55


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 09:49
Chấm bài


#7
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

 

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

 

Biến đổi từ phương trình thứ nhất :

$x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-xy(x^{2}+y^{2})-[2xy(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}]=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy)-2xy(x^{2}+y^{2}-xy)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-2xy)(x^{2}+y^{2}-xy)=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+y^{2}-xy)=0$

Xét trường hợp: $x^{2}+y^{2}-xy=0$$\Leftrightarrow x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{4}=0\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=0$

Mà dễ thấy VT>0 $\Rightarrow$ $x^{2}+y^{2}-xy\neq 0$

$\Rightarrow (x-y)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y$

Thế vào phương trình hai ta có:

$x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 \Leftrightarrow x+x^{3}+x^{2}.x-x.x^{2}-x^{3}=1$

$\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình có nghiệm x=y=1

 

Chỗ màu đỏ sai.

Điểm bài 9

S = 25 + 9*3 = 52


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 09:50
Chấm bài


#8
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

 

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 (1) \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 (2) \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

Bài làm của MSS01-BlackSelena:

Từ phương trình $(2)$ ta nhận thấy $x=y = 0$ không phải là nghiệm

Viết lại phương trình $(1)$:
$x^4+y^4 + 4x^2y^2 - 3xy(x^2+y^2) = 0$

$\Leftrightarrow x^4+y^4 - 4x^3y - 4xy^3 + 6x^2y^2 + y(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 -  y^3) + y^2(x^2-2xy+y^2) = 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^4 + y(x-y)^3 + y^2(x-y)^2 = 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2[y^2 + y(x-y) + (x-y)^2] = 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2(x^2-xy + y^2) = 0$
Lại có $x^2 -xy + y^2 = (x - \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{3}{4}y^2 > 0$ do $x,y \neq 0$

Vậy $x=y$, thay vào phương trình $(2)$, ta có $x=1$.

Kết luận: $x=y=1$ là nghiệm của hệ phương trình

 

Điểm bài 10

S = 25 + 10*3 = 55


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 09:51
Chấm bài


#9
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

 


Biến đổi từ phương trình thứ nhất :

$x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-xy(x^{2}+y^{2})-[2xy(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}]=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy)-2xy(x^{2}+y^{2}-xy)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-2xy)(x^{2}+y^{2}-xy)=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+y^{2}-xy)=0$

Xét trường hợp: $x^{2}+y^{2}-xy=0$$\Leftrightarrow x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{4}=0\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=0$

Mà dễ thấy VT>0 $\Rightarrow$ $x^{2}+y^{2}-xy\neq 0$

$\Rightarrow (x-y)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y$

Thế vào phương trình hai ta có:

$x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 \Leftrightarrow x+x^{3}+x^{2}.x-x.x^{2}-x^{3}=1$

$\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình có nghiệm x=y=1



#10
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

 

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

Bài làm của babystudymaths:

Gọi  2 phương trình đã cho từ trên xuống dưới là (1) và (2),biến đổi(1),ta có

$x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})= 0\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}+6x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})= 0\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})^{2}-3xy(x-y)^{2}= 0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+y^{2}-xy)=0$ từ đây suy ra x=y hoặc $x^{2}+y^{2}-xy= 0$

Nếu x=y,thay vào phương trình (2),ta có : $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}= 1\Leftrightarrow x=1$

Nếu  $x^{2}+y^{2}-xy= 0$ $\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=0$,do các bình phương đều không âm suy ra $x=y=0$,thay vào (2) ta thấy 0=1,vô lí nên loại

Vậy hệ chỉ có duy nhất 1 nghiệm x=y=1

 

 

Toán thủ đã bị loại ở trận 18


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 09:22
Chấm bài

TLongHV


#11
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

ta có: $x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow (x-y)^{4}+xy(x-y)^{2}=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})=0$

xảy ra hai trường hợp: 

+) nếu $(x-y)^{2}=0$ $\Rightarrow x=y$

thay vào hệ thứ hai ta có: $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x= 1\Leftrightarrow x= y=1$

+) nếu $x^{2}-xy+y^{2}=0$, ta có: $x^{2}-xy+y^{2}=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+xy=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}=-xy\rightarrow xy\leq 0$

từ đây ta thấy hệ đầu tiên luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ( vì $a^{2}\geq0$ với mọi a). suy ra hệ thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $xy=0$ và $(x-y)=0$. điều này xảy ra khi x=y=0

vậy phương trình có hai cặp nghiệm là x=y=0 và x=y=1

 

Toán thủ đã bị loại ở trận 25


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 09:25
Chấm bài

 B.F.H.Stone


#12
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

ta có:$ x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x+y)=0\Leftrightarrow (x-y)^{4}+xy(x-y)^{2}=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}((x-y)^{2}+xy)$

Tới đây có hai trường hợp: 

+) nếu $(x-y)^{2}=0$ ta có: $x=y\Rightarrow x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1\Leftrightarrow x= 1\Leftrightarrow x=y=1$( thử lại đúng, chọn)

+) nếu $(x-y)^{2}+xy=0$ ta có: $(x-y)^{2}=-xy$

từ đây suy ra $ x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x+y)=0\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}+3(x-y)^{2}(x^{2}+y^{2})=0$ xảy ra khi x=y=0 (thử với hệ thứ hai , loại)

vậy x=y=1


 B.F.H.Stone


#13
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

 

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

 

cách khác: chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho $x^{2}y^{2}$ ta có: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=0\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}+2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=0$

đặt $\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{x}\right )=a$ ta có: 

$a^{2}-3a+2=0\Leftrightarrow (a-1)(a-2)=0$

suy ra a=1 hoặc a=2

+) nếu a=1, thay vào phương trình thứ nhất ta có: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}=-xy$, tới đây thay vào ta có: $x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}+3(x-y)^{2}(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow x=y=0$

thay vào hệ thứ hai vô lý, loại 

+) nếu a=2 ta có:$x^{2}+y^{2}=2xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}=0\Leftrightarrow x=y$.

thay vào hệ thứ hai ta có: $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x=1$ nên y=1 .

thử lại đúng, chọn

Vậy phương trình có nghiệm x=y=1


 B.F.H.Stone


#14
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cách 1: Ta có :

 $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}-4xy(x^{2}+y^{2})+4xy(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )^{4}-xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )^{4}-xy\left ( x-y \right )^{2}=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}\left ( x^{2}+y^{2}+xy \right )=0 (1) & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 (2) & & \end{matrix}\right.$

Nhầm dấu,  $x^{2}+y^{2}-xy = 0$

 

Từ phương trình $(1)\Rightarrow$ $x-y=0$ hoặc $x^{2}+y^{2}+xy=0$

Nếu $x-y=0\Rightarrow x=y$

Thay vào phương trình $(2)\Rightarrow 1= x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=x+x^{3}+x^{3}-y^{3}-y^{3}=x\Rightarrow x=y=1$

Nếu $x^{2}+y^{2}+xy=0\Rightarrow x=y=0$ 

Thay vào phương trình (2) thì sai

Vậy $x=y=1$

 

Điểm bài: 7

S = 14+3*7 + 6 = 41


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 09:42
Chấm bài

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#15
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cách 2: Ta có 

Nếu $xy=0$ không là nghiệm của phương trình.

Nếu $xy\neq 0$$xy\neq 0$

Ta có : $\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0(1) \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1(2) \end{cases}$

Chia cả 2 vế phương trình (1) cho $x^{2}y^{2}$

$(1)\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4-3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )=0(3)$

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2(x,y\neq 0)$ với $\left | a \right |\geq 2$

Từ $(3)\Rightarrow a^{2}+2-3a=0\Leftrightarrow (a-2)(a-1)=0\Rightarrow a-2=0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\Rightarrow x=y=\pm 1$

Làm sao mà ra được -1?

Nếu $x=y=-1$ thay vào (2) thì sai

Nếu $x=y=1$ thay vào (2) đúng.

Vậy $x=y=1$

 

Nhận xét: 

Chữ "Nếu" màu xanh là không chính xác. Câu đó cũng không chính xác.

Cần viết là: Dễ thấy nếu $xy=0$ thì $(x;y)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình.

 

Điểm bài 6


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 09:42
Chấm bài

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#16
anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết

$\left\{\begin{matrix}x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0(1) & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1(2)& & \end{matrix}\right.$

Từ (1) suy ra : $x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$

Đặt $x^{2}+y^{2}=a;xy=b$ , ta có

$a^{2}-3ab+2b^{2}=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow a=b$ hoặc $a=2b$

Với a=b suy ra $x^{2}+y^{2}=xy\Leftrightarrow (x-(\frac{1}{2}y)^{2})+\frac{3}{4}y^{2}=0\Leftrightarrow x=y=0$

Thế vào (2) ta thấy không thỏa mãn$\Rightarrow$ loại

Với a=2b suy ra $x^{2}+y^{2}=2xy\Leftrightarrow x=y$

Thế vào (2) $\Rightarrow x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow x=y=1$

 

Toán thủ đã bị loại ở trận 25


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 09:44
Chấm bài


#17
Nguyen Huy Tuyen

Nguyen Huy Tuyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết


 

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$

 

Đề của 

Nguyen Duc Thuan

 

Ta xét phương trình: $x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0$

$\Leftrightarrow x^4+y^4-2x^2y^2-3xy(x^2+y^2-2xy)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2-3xy(x-y)^2=0$ 

$\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)^2-3xy(x-y)^2=0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2[(x+y)^2-3xy]=0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2(x^2-xy+y^2)=0$

Mà ta thấy : $x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}> 0$

$\Rightarrow x-y=0$$\Leftrightarrow x=y$

Thay vào phương trình còn lại ta có :

$x+x^3+x^3-x^3-x^3=x=1$

$\Rightarrow y=x=1$

vậy hệ có nghiệm x=y=1

 

*Nhận xét: Bài hệ lần này chỉ cần biến đổi nhẹ ở phương trình thứ nhất rồi thay vào phương trình 2 là  có kết quả. Bạn Nguyễn Đức Thuận cần có thêm vài sáng tạo để bài toán trở nên hay hơn nha!!  :wub:

 

Toán thủ đã bị loại ở trận 24


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 09:45
Chấm bài

Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !


#18
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#19
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Có một số bạn quên chưa loại trường hợp $x=y=0$ :P



#20
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết

Đáp án chính thức;

Đề bài: Giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$

 

Lời giải:

$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0(1)\\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1(2) \end{cases}$

 

+) Nếu $x=0$ thì $(1)\Rightarrow y=0$ (Không thoả mãn (2)) 

+) Nếu $x\neq 0\Rightarrow y\neq 0$, chia cả 2 vế của (1) cho $x^2y^2$ ta được:

$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+4=0$

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$ $\left ( \left | a \right |\geq 2 \right )$

thế thì $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=a^2-2$

Phương trình trên trở thành: 

$a^2-3a+2=0$

$\Leftrightarrow (a-1)(a-2)=0$

Mà  $\left | a \right |\geq 2$ nên $a=2$

Do đó, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2$

$\Rightarrow x^2+y^2=2xy\Leftrightarrow (x-y)^2=0$

$\Leftrightarrow x=y$, thay vào (2) ta được $x=1$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh