TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 (đợt 2)
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN HỌC (vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 14/04/2013
Câu $1$: ($3$ điểm)
$a)$ Giải phương trình: $x^{3}-(x^{2}-x)\sqrt{x+2}-x-2=0$
$b)$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y+z+t=0 & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=4 & & & \\ x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=0 & & & \\ x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}=4 & & & \end{matrix}\right.$
Câu $2$: ($3$ điểm)
$a)$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+2b+3c=14$. Tìm giá trị lớn nhất của: $A=\sqrt{a+3}+2\sqrt{b+2}+3\sqrt{c+1}$
$b)$ Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p^{2}-3$ và $2p^{2}+3$ là các số nguyên tố.
Câu $3$: ($3$ điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$. Các đường cao $AE,BF,CK$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng đi qua $A$ và $O$ cắt $KF$ tại $M$, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $N$ ($N$ khác $A$)
$a)$ Chứng minh tứ giác $MNEH$ là tứ giác nội tiếp
$b)$ Gọi $P$ là giao của $KE$ và $BF$. Chứng minh rằng $HP.BF=HF.BP$
Câu $4$: ($1$ điểm)
Có ba chiếc hộp, hộp thứ nhất có $17$ viên bi, hộp thứ hai có $22$ viên, hộp thứ ba có $24$ viên. Chọn hai hộp bất kỳ và lấy ra từ mỗi hộp ra $1$ viên bi rồi cho vào hộp còn lại (nếu một trong hai chiếc hộp chọn ra không có viên bi nào bỏ hộp ra và chọn hộp còn lại). Hỏi bằng cách đó có thể chuyển tất cả các viên bi vào một hộp hay không?