Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Min, Max của biểu thức $P = \dfrac{1}{x^{2}+1} + \dfrac{1}{y^{2}+1} - \dfrac{3}{xy +2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Cho các số thực dương x,y thõa mãn $x^{4}+y^{4}+\dfrac{1}{xy}= xy + 2$

Tìm Min, Max của biểu thức

$P = \dfrac{1}{x^{2}+1} + \dfrac{1}{y^{2}+1} - \dfrac{3}{xy +2}$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-04-2013 - 10:55

P . I = A . 22


#2
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết


Cho các số thực dương x,y thõa mãn $x^{4}+y^{4}+\dfrac{1}{xy}= xy + 2$

Tìm Min, Max của biểu thức

$P = \dfrac{1}{x^{2}+1} + \dfrac{1}{y^{2}+1} - \dfrac{3}{xy +2}$

Ta có: ${x^4} + {y^4} \ge 2{x^2}{y^2}$. Do đó từ giả thiết ta suy ra:\[2{x^3}{y^3} - {x^2}{y^2} - 2xy + 1 \le 0(1)\]

Vì $xy>0$ nên từ $(1)$ ta suy ra $\frac{1}{2}\leq xy\leq 1$

Mặt khác từ giả thiết ta suy ra:\[{x^2} + {y^2} = \sqrt {2{x^2}{y^2} + xy - \frac{1}{{xy}} + 2} \]

Đặt  $xy=t$,  $\frac{1}{2}\le t\le 1$

Do đó, ta có:\[P = \frac{{\sqrt {2{a^2} + a - \frac{1}{a} + 2}  + 2}}{{{a^2} + \sqrt {2{a^2} + a - \frac{1}{a} + 2}  + 1}} - \frac{3}{{a + 2}} = f(a)\]

Lại có:$f'(a)<0$ với $a\in [\frac{1}{2};1]$

Nên suy ra $f$ nghịch biến trong $[\frac{1}{2};1]$

Vây:  \[maxP = maxf(a) = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = y = \sqrt[4]{{\frac{1}{4}}}\] \[minP = minf(a) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow x = y = 1\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 16-04-2013 - 16:29

  • NLT yêu thích

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh