Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm Min, Max của biểu thức $P = \dfrac{1}{x^{2}+1} + \dfrac{1}{y^{2}+1} - \dfrac{3}{xy +2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cờ Đỏ
  • Sở thích:no

Đã gửi 16-04-2013 - 05:40

Cho các số thực dương x,y thõa mãn $x^{4}+y^{4}+\dfrac{1}{xy}= xy + 2$

Tìm Min, Max của biểu thức

$P = \dfrac{1}{x^{2}+1} + \dfrac{1}{y^{2}+1} - \dfrac{3}{xy +2}$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-04-2013 - 10:55

P . I = A . 22


#2 thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định

Đã gửi 16-04-2013 - 12:32



Cho các số thực dương x,y thõa mãn $x^{4}+y^{4}+\dfrac{1}{xy}= xy + 2$

Tìm Min, Max của biểu thức

$P = \dfrac{1}{x^{2}+1} + \dfrac{1}{y^{2}+1} - \dfrac{3}{xy +2}$

Ta có: ${x^4} + {y^4} \ge 2{x^2}{y^2}$. Do đó từ giả thiết ta suy ra:\[2{x^3}{y^3} - {x^2}{y^2} - 2xy + 1 \le 0(1)\]

Vì $xy>0$ nên từ $(1)$ ta suy ra $\frac{1}{2}\leq xy\leq 1$

Mặt khác từ giả thiết ta suy ra:\[{x^2} + {y^2} = \sqrt {2{x^2}{y^2} + xy - \frac{1}{{xy}} + 2} \]

Đặt  $xy=t$,  $\frac{1}{2}\le t\le 1$

Do đó, ta có:\[P = \frac{{\sqrt {2{a^2} + a - \frac{1}{a} + 2}  + 2}}{{{a^2} + \sqrt {2{a^2} + a - \frac{1}{a} + 2}  + 1}} - \frac{3}{{a + 2}} = f(a)\]

Lại có:$f'(a)<0$ với $a\in [\frac{1}{2};1]$

Nên suy ra $f$ nghịch biến trong $[\frac{1}{2};1]$

Vây:  \[maxP = maxf(a) = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = y = \sqrt[4]{{\frac{1}{4}}}\] \[minP = minf(a) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow x = y = 1\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 16-04-2013 - 16:29

  • NLT yêu thích

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh