Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{P^{2}(x)}{Q^{2}(x)}=\frac{P(x^{2})}{Q(x^{2})}+a$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 16-04-2013 - 16:59

Tìm các đa thức $ P(x);Q(x) $ có hệ số thực ,$a \in R$ thỏa mãn: $ \dfrac{P^2(x)}{Q^2(x)}=\dfrac{P(x^2)}{Q(x^2)}+a $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-04-2013 - 11:53

                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#2 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-04-2013 - 21:37



Tìm các đa thức $ P(x);Q(x) $ có hệ số thực ,$a \in R$ thỏa mãn: $ \dfrac{P^2(x)}{Q^2(x)}=\dfrac{P(x^2)}{Q(x^2)}+a $

 

 

Tự dưng ngồi kế em học trò, chắc tại em ấy xinh xinh, duyên duyên, cute nên IQ tăng đột biến :)

 

Từ trên suy ra $Q(x) \neq 0 \;, \forall x \in \mathbb{R} $

 

Giả thiết tương đương với

 

$$P^2(x)Q(x^2)-P(x^2)Q^2(x)=aQ^2(x)Q(x^2) $$

 

Gọi $R \in R[x]$ là UCLN của $P$ và $Q$, suy ra $P=R.P_1 , \; Q=R.Q_1 $ với $P_1,Q_1 \in R[x] \;, (P_1,Q_1)=1 $

 

Thay vào trên và ta được $P_1^2(x)Q_1(x^2)-P_1(x^2)Q_1^2(x)=aQ_1(x^2)Q_1^2(x)  \;\; ( * )$

 

Trường hợp $a \neq 0$

 

Giả sử $\deg(P_1)=n \; , \deg(Q_1)=m $, từ trên suy ra $n=m$.

 

Nếu $Q_1$ không là đa thức hằng

 

Giả sử $Q_1(x)=b \prod_{i=1}^m (x-x_i) \;\;, b \in \mathbb{R}^*, (x_1,x_2,...,x_m)\in \mathbb{C}^m $

 

 suy ra $Q_1(x^2)=b \prod_{i=1}^n (x^2-x_i) $

 

Vậy các $ \pm \sqrt{x_i} $ là nghiệm của $Q_1(x^2) $. Do $0$ không là nghiệm của $Q_1(x)$ nên các $x_i \neq 0$, do đó $-\sqrt{x_i} $ không là nghiệm của $Q_1(x)$ tức tồn tại $-\sqrt{x_{i0}} , Q_1(-\sqrt{x_{i0}}) \neq 0$

 

Trong $(* ) $ thay $x=-\sqrt{x_{i0}}$ suy ra $-P_1(x_{i0})Q_1^2(-\sqrt{x_{i0}})=0 \Leftrightarrow P_1(x_{i0})=0 $

 

Vậy $(P_1,Q_1) \neq 1 $, mâu thuẫn! , do đó $Q_1$ là đa thức hằng, và do đó $P_1$ cũng là đa thức hằng.

 

Giả sử $P_1=p, Q_1=q \;, (p;q) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^* $ , thay vào $(* )$ ta được

 

$$p^2q-pq^2=aq^3   \Leftrightarrow p^2-pq=aq^2 \;\; (** )$$

 

Nếu $a < \frac{-1}{4} $ thì $(** )$ vô nghiệm với mọi $(p,q) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$ còn $a \ge \dfrac{-1}{4} $ thì có thế chọn $(p;q) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^* $ để $(** )$ có nghiệm.

 

Vậy nếu $a< -\frac{-1}{4}$ thì không tồn tại $P,Q$ thỏa yêu cầu.

 

Nếu $a \neq 0 \wedge a \ge \frac{-1}{4} $ thì $P(x)=pR(x) \;, Q(x)=qR(x) $ với $R \in R[x] , R(x) \neq 0 \; \forall x \in \mathbb{R}$ và $(p;q) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^* $ đồng thời $p^2=pq+aq^2 $ là các đa thức thỏa đề bài.

 

Trường hợp $a=0$

 

Tương tự như trên kia ta có

 

$$P_1^2(x)Q_1(x^2)=P_1(x^2)Q_1^2(x) \; (*** )$$

 

Nếu $Q_1$ không là hàm hằng, lập luận tương tự như cm trên, ta suy ra mâu thuẫn, do đó phải có $Q_1(x)=q \;, q \in \mathbb{R}^* $

 

Trong $(*** )$ $P_1,Q_1$ có vai trò như nhau nên ta cũng suy ra được $P_1(x)=p \;, p \in \mathbb{R} $

 

Thay vào $(*** )$ ta được $p^2q=q^2p \Leftrightarrow p=0 \vee p=q$

 

Vậy $P(x)=0 $, $Q(x)$ tùy ý sao cho $Q(x) \neq 0 \; \forall x \in \mathbb{R} $ hoặc $P=Q $ với $Q$ tùy ý sao cho $Q(x) \neq 0 \; \forall x \in \mathbb{R} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-04-2013 - 21:49

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#3 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 16-05-2013 - 22:23


Trường hợp $a \neq 0$

Nếu $a \neq 0 \wedge a \ge \frac{-1}{4} $ thì $P(x)=pR(x) \;, Q(x)=qR(x) $ với $R \in R[x] , R(x) \neq 0 \; \forall x \in \mathbb{R}$ và $(p;q) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^* $ đồng thời $p^2=pq+aq^2 $ là các đa thức thỏa đề bài.

Em có đọc trong một tài liệu và họ ghi đáp số (không rõ chứng minh) của trường hợp này là:

$$a=2;Q(x)=cx^n;P(x)=c(1+x^{2n})$$


Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh