Chủ đề này có 9 trả lời

[philong2894]

Hai chuỗi này có điểm gì khác nhau.

Maclaurin là trường hợp khai triển taylor tại a=0 nhưng nếu tại a khác 0 thi sao

Ví dụ : 

  khai triển $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ lan cận a=1

Khai triển taylor va maclaurin lại không giống nhau?

P/s với trường hợp maclaurin minh đặt t= x-1. Đúng ko nhi????????? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi philong2894: 17-04-2013 - 20:28

[funcalys]

Ta có:

$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}2n}{(x+1)^{n+1}}$

 

Vậy khai triển Taylor gần $a=1$ là:

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2n}{2^{n+1}n!}(x-1)^{n}$

Trường hợp Maclaurin thì bạn thay $a=0$:

Khai triển Maclaurin của $f$ sẽ là:

$f(x)=-1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(-2)x^{n}$.

 

 

 

 

 

[vo van duc]

Ta đặt $X=x-a$ rồi biến đổi hàm f(X) sao cho có thể áp dụng khai triển Maclaurin.

[philong2894]

Nếu đặt X= x-a thì khai triển Maclaurin dâu có giống khi dùng Taylor???

 Mình thắc mắc chỗ này ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi philong2894: 17-04-2013 - 20:25

[philong2894]

Sao công thức tổng quát của $f^{n}(a)$ là vậy thế mình nghĩ nó là $f^{n}(a)=\frac{(-1)^{n}*2*n!}{(x+1)^{n+1}}$

[vo van duc]

$\begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{x-1}{x+1}\\ &=& 1-\frac{2}{x+1}\\ &=& 1-\frac{2}{(x-1)+2}\\ &=& 1-\frac{1}{\frac{x-1}{2}+1}\\ &=& 1-\left [ 1-\left ( \frac{x-1}{2} \right )+\left ( \frac{x-1}{2} \right )^{2}-\cdots +(-1)^{n}\left ( \frac{x-1}{2} \right )^{n}+O\left ( \left ( \frac{x-1}{2} \right )^{n} \right ) \right ]\\ &=& \frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^{2}}{2^{2}}+\frac{(x-1)^{3}}{2^{3}}-\cdots +(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^{n}}{2^{n}}+O\left ( (x-1)^{n} \right ) \end{eqnarray}$

 

Theo công thức khai triển Taylor

 

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^{k}+O\left ( \left ( x-1 \right )^{n} \right )$

 

Suy ra

 

$\frac{f^{(k)}(1)}{k!}=\frac{(-1)^{k+1}}{2^{k}}\Rightarrow f^{(k)}(1)=\frac{(-1)^{k+1}.k!}{2^{k}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-04-2013 - 20:41

[philong2894]

$\begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{x-1}{x+1}\\ &=& 1-\frac{2}{x+1}\\ &=& 1-\frac{2}{(x-1)+2}\\ &=& 1-\frac{1}{\frac{x-1}{2}+1}\\ &=& 1-\left [ 1-\left ( \frac{x-1}{2} \right )+\left ( \frac{x-1}{2} \right )^{2}-\cdots +(-1)^{n}\left ( \frac{x-1}{2} \right )^{n}+O\left ( \left ( \frac{x-1}{2} \right )^{n} \right ) \right ]\\ &=& \frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^{2}}{2^{2}}+\frac{(x-1)^{3}}{2^{3}}-\cdots +(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^{n}}{2^{n}}+O\left ( (x-1)^{n} \right ) \end{eqnarray}$

Nếu đặt t=x-1 thi ta có : 

              $\frac{t}{t+2}$

Áp dụng khai triển Maclảuin thì là

              $\frac{t}{2*(\frac{t}{2}+1)}=\frac{t}{2}*\sum (-1)^{n}*(\frac{t}{2})^{n}$

                                                      =$\sum (-1)^{n}*\frac{(x-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$

Cách này có đúng không???

 

 

 

@vo van duc: Hai khai triển của anh và em giống nhau mà. Nhưng chú ý cách trình bày.hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-04-2013 - 20:45

[philong2894]

Cái đạo hàm cấp n của hàm này là gì vậy?

mình nghĩ nó là 

$f^{n}(a)=\frac{(-1)^{n}*2*n!}{(x+1)^{n+1}}$

Đúng không vậy??

 

 

@vo van duc: Sai rồi em. Đạo hàm của một hàm số tại một điểm xác định là một "số" (không phụ thuộc vào x.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-04-2013 - 20:48

[philong2894]

Vậy 2 kết quả khi khai triển theo Taylor và Maclaurin có bằng nhau ko vậy?

 

............................................................

@vo van duc: Em xem lại giáo trình sẽ hiểu. hi

@vo van duc: Nhắc nhở em thêm về chuyện viết tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu câu. Và chúng ta đã có nút "Thích" để thay lời cảm ơn nên không đăng bình luận linh tinh nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-04-2013 - 21:32

[philong2894]

Cái đạo hàm cấp n của hàm này là gì vậy?

mình nghĩ nó là 

$f^{n}(a)=\frac{(-1)^{n}*2*n!}{(x+1)^{n+1}}$

Đúng không vậy??

 

 

@vo van duc: Sai rồi em. Đạo hàm của một hàm số tại một điểm xác định là một "số" (không phụ thuộc vào x.

vậy đó la $f^{n}(1)=\frac{(-1)^{n}*n!}{2^{n}}$