Chủ đề này có 1 trả lời

[faraanh]

$\left\{\begin{matrix}0<u_n<1\\ u_{n+1}(1-u_n)>\frac{1}{4},n>1\end{matrix}\right.$

tìm $limu_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-04-2013 - 10:31

[dark templar]

$\left\{\begin{matrix}0<u_n<1\\ u_{n+1}(1-u_n)>\frac{1}{4},n>1 \quad (*)\end{matrix}\right.$

tìm $limu_n$

Do dãy $\{u_{n} \}_{1}^{\infty}$ là dãy dương nên áp dụng AM-GM,ta có:

$$\frac{1}{4}<(1-u_{n})u_{n+1} \le \left(\frac{1-u_{n}+u_{n+1}}{2} \right)^2 $$

$$\iff 1<1-u_{n}+u_{n+1} \iff u_{n}<u_{n+1}$$

 

Như vậy dãy $\{u_{n} \}$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $1$ nên dãy có giới hạn hữu hạn là $L(L<1)$. Chuyển qua giới hạn trong $(*)$ thì ta có:

$$L(1-L)>\frac{1}{4} \iff \left(L-\frac{1}{2} \right)^2 \le 0 \iff L=\frac{1}{2}$$

 

Vậy $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty}u_{n}=\frac{1}{2}}$.