Chủ đề này có 1 trả lời

[quynho96hy]

Giải phương trình $sinx+2=2cosxcos(2x-\frac{\pi }{6})+4sin^2x$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải phương trình:
$\sin{x} + 2 = 2\cos{x}\cos{(2x - \dfrac{\pi}{6})} + 4\sin^2{x}$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$\sin{x} + 2(1 - 2\sin^2{x}) = 2\cos{x}\cos{(2x - \dfrac{\pi}{6})}$

 

 

$\Leftrightarrow \sin{x} + 2\cos{2x} = 2\cos{x}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}\sin{2x} \right )$

 

$\Leftrightarrow \sin{x} + 2\cos{2x} = \sqrt{3}\cos{x}\cos{2x} + 2\sin{x}\cos^2{x}$

 

$\Leftrightarrow 2\cos{2x} = \sqrt{3}\cos{x}\cos{2x} + \sin{x}\left (  2\cos^2{x} - 1\right )$

 

$\Leftrightarrow \cos{2x}\left ( \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} - 2 \right ) = 0$

 

- Nếu $\cos{2x} = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \, (k \in \mathbb{Z})$

 

- Nếu $\sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} + \frac{1}{2}\sin{x} = 1$

 

$\Leftrightarrow \sin{\left ( x + \frac{\pi}{3} \right )} = 1$

 

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

 

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \, (k \in \mathbb{Z})$