Chủ đề này có 7 trả lời

[200dong]

Cho hình chóp SABC, ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, góc ABC = 60o, M là trung điểm của BC.

 

Biết SA = SC = SM = $a \sqrt{5}$.

 

a) Tính d(S,(ABC)).

 

b) Tính d(S,AB).

[25 minutes]

 

Cho hình chóp SABC, ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, góc ABC = 60o, M là trung điểm của BC.

 

Biết SA = SC = SM = $a \sqrt{5}$.

 

a) Tính d(S,(ABC)).

 

b) Tính d(S,AB).

 

a,Dễ dàng chứng minh được $AB=AM=a,AC=a\sqrt{3}$

Xét tứ diện $SAMC$ có $SA=SC=SM$ nên kẻ $SG$ vuông góc với $(AMC)$ thì $G$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$

       $\Rightarrow d(S;(ABC))=SG=\sqrt{SM^2-MG^2}=\sqrt{5a^2-MG^2}$

Ta có $\cos \widehat{MCA}=\cos 30=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{MC^2+AC^2-AM^2}{2.MC.AC}=\frac{MC^2+2a^2}{2.MC.a\sqrt{3}}$

      $\Rightarrow MC=a$

Xét tam giác $MAC$ có $AM=MC=a, AC=a\sqrt{3}$

     $\Rightarrow R=MG=,\Rightarrow SH=$

b, Kẻ $GK$ vuông góc với $AB$

Ta có $AB$ vuông góc với $(SGK)$ nên $AB$ vuông góc vơi $SK$

      $\Rightarrow d(S,AB)=SK$

[200dong]

Tớ thấy chỗ này của cậu không cần thiết:

Vì M là trung điểm BC , suy ra luôn MC = a.

 

 

 

 

Ta có $\cos \widehat{MCA}=\cos 30=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{MC^2+AC^2-AM^2}{2.MC.AC}=\frac{MC^2+2a^2}{2.MC.a\sqrt{3}}$

      $\Rightarrow MC=a$

Xét tam giác $MAC$ có $AM=MC=a, AC=a\sqrt{3}$

     $\Rightarrow R=MG=,\Rightarrow SH=$

 

 

 

Còn đoạn tính MG là sao? Cậu tính toán ra xem nào! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 200dong: 19-04-2013 - 02:46

[25 minutes]

 

Tớ thấy chỗ này của cậu không cần thiết:

Vì M là trung điểm BC , suy ra luôn MC = a.

 

 

 

 

 

Còn đoạn tính MG là sao? Cậu tính toán ra xem nào! 

 

À mình quên mất $M$ là trung điểm $BC$

Còn tính $MG$ thì cậu tính được diện tích tam giác $AMC$ khi biết được hết 3 cạnh của tam giác này rồi sử dụng công thức sau

                    $abc=4RS\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}$

Chú ý tam giác $AMC$ cân tại $M$ nên chỉ cần kẻ $MI$ vuông góc với $AC$

                  $\Rightarrow S=\frac{1}{2}.MI.AC=\frac{1}{2}.AM. \sin \widehat{MAC}.AC$

Tính được $\cos \widehat{MAC}=\frac{MA^2+AC^2-MC^2}{2.MA.AC}$

                 $\Rightarrow \sin \widehat{MAC}=\sqrt{1- \cos ^2 \widehat{MAC}}$

Từ đó tính được $S$ rồi thay vào tính $R=MG$ thôi

P/S: Hiện tại mình không có máy tính nên viện tính toán có căn rất dễ nhầm nên mình không dám post

[vantho302]

Mình sẽ giải chi tiết bài này cho bạn hiểu hơn

Dễ dàng bạn tìm được độ dài cạnh $AB = a;AC = a\sqrt 3 $

Gọi $I$ là trung điểm của AC

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ S lên$MI$

Ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
 MH \bot AC{\rm{ do }}(MI{\rm{ song song }}AB) \\
 SI \bot AC \\
 \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHI} \right)$
$ \Rightarrow SH \bot AC\left( 1 \right)$
Lại có $SH \bot MI\left( 2 \right)$
Từ (1), (2):

$\left\{ \begin{array}{l}
 SH \bot AC \\
 SH \bot MI \\
 MI,AC \subset \left( {ABC} \right) \\
 \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH$

* Tính $SH$

$\begin{array}{l}
 S{M^2} = M{I^2} + S{I^2} - 2MI.SI.\cos \left( {SIM} \right) \\
  \Leftrightarrow \cos \left( {SIM} \right) = \frac{{M{I^2} + S{I^2} - S{M^2}}}{{2MI.SI}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{17{a^2}}}{4} - 5{a^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2}}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt {17} }}{2}}} =  - \frac{{\sqrt {17} }}{{17}} \\
 \end{array}$
$\cos \left( {SIM} \right) =  - \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}$ nghĩa là góc (SIM) lớn hơn ${90^0}$

Do đó, chân đường cao $H$ nằm ngoài đoạn $MI$ và về phía $I$

$ \Rightarrow \cos \left( {SIH} \right) = \frac{{HI}}{{SI}} = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}} \Leftrightarrow HI = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2} = \frac{a}{2}$

$\begin{array}{l}
  \Rightarrow MH = a \\
  \Rightarrow MH = AB = a \\
 \end{array}$
Xét tam giác $SHI$ vuông tại $H$:

$S{H^2} = S{I^2} - I{H^2} = \frac{{17{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4} = 4{a^2} \Leftrightarrow SH = 2a$

$ \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH = 2a$

Dễ thấy $ABMH$ là hình chữ nhật

$ \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} + A{H^2} = 2{a^2} \Rightarrow BH = a\sqrt 2 $

Xét tam giác $SHB$ vuông tại $H$:

$S{B^2} = S{H^2} + B{H^2} = 4{a^2} + 2{a^2} = 6{a^2} \Rightarrow SB = a\sqrt 6 $

Xét tam giác $SAB$:
$\cos \left( {SBA} \right) = \frac{{A{B^2} + S{B^2} - S{A^2}}}{{2AB.SB}} = \frac{{{a^2} + 6{a^2} - 5{a^2}}}{{2{a^2}\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Xét tam giác $SBK$ vuông tại $K$:

$\cos \left( {SBK} \right) = \frac{{BK}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Leftrightarrow BK = a$

$S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = 6{a^2} - {a^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow SK = a\sqrt 5 $
$ \Rightarrow d\left( {S,AB} \right) = SK = a\sqrt 5 $

Quy trình tính toán là như vậy, có thể mình tính sai số nên bạn có thể tính lại kỹ hơn
$------------------------------------------------------------------------------$

Chắc có lẽ cách xác định khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng là khó với một số bạn:

Mình sẽ trình bày phương pháp tìm hình chiếu của điểm lên mặt

* Dể tìm hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên mặt phẳng $P$ cho trước:

Ta tìm một mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $d$.

Từ đó ta dựng $MH \bot d$. Khi đó $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(P)$ hay $d(M,(P))=MH$

 

Áp dụng cho bài toán trên: Mình đã xác định được mặt phẳng $(SMI)$ đi qua điểm $S$ vuông góc với $(ABC)$ và có giao tuyến là $MI$ nên ta dựng $SH$ vuông góc với $MI$ thì $SH$ chính là $d(S,(ABC))$
 

[200dong]

 

 

Dễ thấy $ABMH$ là hình chữ nhật

$ \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} + A{H^2} = 2{a^2} \Rightarrow BH = a\sqrt 2 $

Xét tam giác $SHB$ vuông tại $H$:

$S{B^2} = S{H^2} + B{H^2} = 4{a^2} + 2{a^2} = 6{a^2} \Rightarrow SB = a\sqrt 6 $

Xét tam giác $SAB$:
$\cos \left( {SBA} \right) = \frac{{A{B^2} + S{B^2} - S{A^2}}}{{2AB.SB}} = \frac{{{a^2} + 6{a^2} - 5{a^2}}}{{2{a^2}\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Xét tam giác $SBK$ vuông tại $K$:

$\cos \left( {SBK} \right) = \frac{{BK}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Leftrightarrow BK = a$

$S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = 6{a^2} - {a^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow SK = a\sqrt 5 $
$ \Rightarrow d\left( {S,AB} \right) = SK = a\sqrt 5 $

 

 

 

 

Bạn nhầm rồi! 

 

ABMH sao mà là hình chữ nhật dc, là hình bình hành thôi.

 

--> Các kết quả tính toán về sau sai hết rồi ak?

 

[vantho302]

À mình nhầm mất. Tự nhiên trong đầu cứ nghĩ gócB vuông. Hic

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantho302: 20-04-2013 - 06:41

[maitswwat]

 

Cho hình chóp SABC, ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, góc ABC = 60o, M là trung điểm của BC.

 

Biết SA = SC = SM = $a \sqrt{5}$.

 

a) Tính d(S,(ABC)).

 

b) Tính d(S,AB).

cũng đề bài như trên nhưng yêu cầu là tính d(sa,bc) ??ai giúp với ạ