Chủ đề này có 4 trả lời

[zone]

Mình có bài tập này muốn nhờ mọi người giúp. Theo mình đoán là dùng bunhia nhưng điều kiện dấu bằng xảy ra khó mà tìm được nên dường như là không khả thi.

$ab+bc+ca=1; a,b,c>0$,

Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$ P= a^2+ 2b^2+ 5c^2$

[hoangvtvpvn]

Ta có P+$\sum a^{2}=2a^{2}+3b^{2}+6c^{2}=(2a^{2}+3b^{2}+6c^{2})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})\geq (\sum a)^{2}$

Do đó P$\geq 2(ab+bc+ca)=2$

[zone]

điều kiện dấu bằng xảy ra không thỏa mãn rồi bạn ạ. Bạn có cách nào khác không?

[luuvanthai]

$a^{2}+2b^{2}+5c^{2}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}+mb^{2}+(5-n)c^{2}+nc^{2}$

Bây giờ AD bdt côsi:

$\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}\geq 2ab\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}}$

$\frac{a^{2}}{2}+(5-n)c^{2}\geq 2ac\frac{\sqrt{5-n}}{\sqrt{2}}$

$mb^{2}+nc^{2}\geq 2\sqrt{mn}bc$

Ta tìm m,n sao cho:$\sqrt{mn}=\sqrt{\frac{2-m}{2}}=\sqrt{\frac{5-n}{2}}$

n=$\frac{5+\sqrt{65}}{4};m=\frac{\sqrt{65}-7}{4}$

Do đó $\geq 2\sqrt{mn}(ab+bc+ac)=2\sqrt{mn}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 22-04-2013 - 19:55

[zone]

$a^{2}+2b^{2}+5c^{2}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}+mb^{2}+(5-n)c^{2}+nc^{2}$

Bây giờ AD bdt côsi:

$\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}\geq 2ab\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}}$

$\frac{a^{2}}{2}+(5-n)c^{2}\geq 2ac\frac{\sqrt{5-n}}{\sqrt{2}}$

$mb^{2}+nc^{2}\geq 2\sqrt{mn}bc$

Ta tìm m,n sao cho:$\sqrt{mn}=\sqrt{\frac{2-m}{2}}=\sqrt{\frac{5-n}{2}}$

m=$\frac{5+\sqrt{65}}{4};n=\frac{\sqrt{65}-7}{4}$

Do đó $\geq 2\sqrt{mn}(ab+bc+ac)=2\sqrt{mn}$

Mình thấy m>2 nên $\sqrt{2-m}$ vô nghĩa. Mà điều kiện dấu bằng mình nghĩ không chỉ có thế, còn phải thỏa mãn bất đẳng thức cauchy áp dụng cho từng bộ 2 số.