Chủ đề này có 8 trả lời

[spiderman123]

Cho tam giác $ABC. (I)$ là tâm đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F. AD$ cắt đường tròn tại $K$, trung tuyến $AM.$ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với $AD$ tại $K$, đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AM$ và $EF$ đồng quy

 

[The Collection]

Cho tam giác $ABC. (I)$ là tâm đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F. AD$ cắt đường tròn tại $K$, trung tuyến $AM.$ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với $AD$ tại $K$, đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AM$ và $EF$ đồng quy

 

Giải như sau:

 

 

Giả sử $AM$ cắt $(I)$ tại $N,P$. Tiếp tuyến tại $N,P$ cắt nhau tại $J$, rõ ràng đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AM$ đi qua $J$.

 

Dễ thấy $(NFPE)=-1 \to EF$ đi qua $J$.

 

Ta chứng minh $(NKPL)=-1$, với $L$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $AD$ tại $K$ và $AM$.

 

Để ý $DL$ là đường kính của $(I)$. Từ $L$ kẻ tiếp tuyến với $(I)$ cắt $AD$ tại $Q$, cắt $AM$ tại $O$.

 

Theo bổ đề quen thuộc có $O$ là trung điểm của $QL$, mà $\Delta KQL$ vuông tại $K$.

 

Suy ra: $KO=OL \to OK$ là tiếp tuyến của $(I)$.

 

Rõ ràng: $(NKPL)=-1 \to KL$ đi qua $J$. Và đó là điều phải chứng minh.

 

 

...Secret...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranminhbao2607: 21-04-2013 - 00:41

[BlackSelena]

Cho tam giác $ABC. (I)$ là tâm đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F. AD$ cắt đường tròn tại $K$, trung tuyến $AM.$ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với $AD$ tại $K$, đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AM$ và $EF$ đồng quy

Phew

Gọi giao điểm của $EF$ là đường thẳng qua $I$ vuông góc $AM$ là $K'$, của $EF$ với đường thẳng vuông góc $AD$ tại $K$ là $K''$. $AI$ cắt $KK''$ tại $H$
Ta sẽ chứng minh $K \equiv K''$, thật vậy:

$ID$ cắt $PQ$ tại $R$, khi đó $\angle IPR = \angle IFR = \angle IER = \angle IQR$

$\Rightarrow PR = RQ$

$\Rightarrow \overline{A,R,M}$

Vậy thấy được $R$ là trực tâm $\triangle AIK'$

$\Rightarrow IR \perp AK'$, lại có $ID \perp BC$ nên $BC \parallel AK' (1)$

Mặt khác, bằng phương tích ta chứng minh được $KRID:tgnt$

$\Rightarrow \angle ARK = \angle ADI$
Mặt khác, dễ có $KHRL:tgnt$ nên $\angle ALH = \angle ADI$

$\Rightarrow LH \parallel DI$, cũng dễ có $H$ là trực tâm $\triangle ALK''$ nên $BC \parallel AK''(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 19-04-2013 - 00:20

[thanhdotk14]

95797.png

Phew

Gọi giao điểm của $EF$ là đường thẳng qua $I$ vuông góc $AM$ là $K'$, của $EF$ với đường thẳng vuông góc $AD$ tại $K$ là $K''$. $AI$ cắt $KK''$ tại $H$
Ta sẽ chứng minh $K \equiv K''$, thật vậy:

$ID$ cắt $PQ$ tại $R$, khi đó $\angle IPR = \angle IFR = \angle IER = \angle IQR$

$\Rightarrow PR = RQ$

$\Rightarrow \overline{A,R,M}$

Vậy thấy được $R$ là trực tâm $\triangle AIK'$

$\Rightarrow IR \perp AK'$, lại có $ID \perp BC$ nên $BC \parallel AK' (1)$

Mặt khác, bằng phương tích ta chứng minh được $KRID:tgnt$

$\Rightarrow \angle ARK = \angle ADI$
Mặt khác, dễ có $KHRL:tgnt$ nên $\angle ALH = \angle ADI$

$\Rightarrow LH \parallel DI$, cũng dễ có $H$ là trực tâm $\triangle ALK''$ nên $BC \parallel AK''(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có dpcm

Cách khác:(Dựa trên ý tưởng của bạn nhé!)

Gọi $S$ là giao điểm của $EF$ và đường vuông góc với $AD$ tại $K$

$S'$ là giao điểm của $EF$ và đường vuông góc với $AM$

Trước tiên, ta chứng minh: $AS\parallel BC$

Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $EF$ với $AI,ID$

Ta có:

$AK.AD=AE^2=AQ.AI$

$\Rightarrow IDKQ$ nội tiếp

Từ đó ta có:

$\widehat{KQF}=90^{\circ}-\widehat{KQA}=90^{\circ}-\widehat{KDN}=\widehat{KNP}$

(Với $N$ là giao điểm của $ID$ và $KS$ hay nó cũng chính là giao điểm của $ID$ với $(I)$)

$\Rightarrow KNPQ$ nội tiếp

$\Rightarrow SQ.SP=SN.SK=SE.SF$

$\Rightarrow \left ( SPEF \right )=-1$

$\Rightarrow S$ thuộc đường đối cực của $P$

Lại có:

$EF$ là đường đối cực của $A$ mà $P\in EF$ nên đường đối cực $P$ cũng đi qua $A$

Từ đó suy ra $AS$ chính là đường đối cực của P đối với $(I)$

$\Rightarrow AS\perp IP$

$\Rightarrow AS\parallel BC$

Tiếp theo, ta đi chứng minh $AS'\parallel BC$

Theo như bài của $Blackselena$ thì ta có $A.P.M$ thẳng hàng

Dễ dàng chứng minh được $A,F,I,L,E$ cùng thuộc một đường tròn

Với $L$ là giao điểm của $AS'$ và $AM$

$\Rightarrow S'E.S'F=S'L.S.S'I$

Lại có $QPLI$ nội tiếp

$\Rightarrow S'Q.S'P=S'L.S'I$

Từ đó ta suy ra $(S'PEF)=-1$

Tương tự, ta cũng có $AS'\parallel BC$

Từ đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 19-04-2013 - 04:42

[The Collection]

Cách khác:(Dựa trên ý tưởng của bạn nhé!)

Ảnh chụp màn hình_2013-04-19_040307.png

Gọi $S$ là giao điểm của $EF$ và đường vuông góc với $AD$ tại $K$

$S'$ là giao điểm của $EF$ và đường vuông góc với $AM$

Trước tiên, ta chứng minh: $AS\parallel BC$

Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $EF$ với $AI,ID$

Ta có:

$AK.AD=AE^2=AQ.AI$

$\Rightarrow IDKQ$ nội tiếp

Từ đó ta có:

$\widehat{KQF}=90^{\circ}-\widehat{KQA}=90^{\circ}-\widehat{KDN}=\widehat{KNP}$

(Với $N$ là giao điểm của $ID$ và $KS$ hay nó cũng chính là giao điểm của $ID$ với $(I)$)

$\Rightarrow KNPQ$ nội tiếp

$\Rightarrow SQ.SP=SN.SK=SE.SF$

$\Rightarrow \left ( SPEF \right )=-1$

$\Rightarrow S$ thuộc đường đối cực của $P$

Lại có:

$EF$ là đường đối cực của $A$ mà $P\in EF$ nên đường đối cực $P$ cũng đi qua $A$

Từ đó suy ra $AS$ chính là đường đối cực của P đối với $(I)$

$\Rightarrow AS\perp IP$

$\Rightarrow AS\parallel BC$

Tiếp theo, ta đi chứng minh $AS'\parallel BC$

Theo như bài của $Blackselena$ thì ta có $A.P.M$ thẳng hàng

Dễ dàng chứng minh được $A,F,I,L,E$ cùng thuộc một đường tròn

Với $L$ là giao điểm của $AS'$ và $AM$

$\Rightarrow S'E.S'F=S'L.S.S'I$

Lại có $QPLI$ nội tiếp

$\Rightarrow S'Q.S'P=S'L.S'I$

Từ đó ta suy ra $(S'PEF)=-1$

Tương tự, ta cũng có $AS'\parallel BC$

Từ đó ta có đpcm

 

Dùng cực đối cực chỉ là cách trình bày lại lời giải của Black Selena theo ngôn ngữ khác (nếu bạn hiểu rõ nguyên lý của cực, đối cực), mặt khác, thật đáng tuyên dương Black Selena với 1 lời giải THCS khá đẹp mắt Mà kiến thức về cực đối cực trong các kì thi ở THPT không được áp dụng, quả thật, lời giải của Black Selena thật tuyệt vời

 

...Secret...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranminhbao2607: 21-04-2013 - 00:42

[thanhdotk14]

Dùng cực đối cực chỉ là cách trình bày lại lời giải của Black Selena theo ngôn ngữ khác (nếu bạn hiểu rõ nguyên lý của cực, đối cực), mặt khác, thật đáng tuyên dương Black Selena với 1 lời giải THCS khá đẹp mắt Mà kiến thức về cực đối cực trong các kì thi ở THPT không được áp dụng, quả thật, lời giải của Black Selena thật tuyệt vời

À mình hiểu chớ, nhưng mà mình muốn đóng góp thêm những cách giải hay để làm phong phú thêm ấy mà

[thanhdotk14]

Dùng cực đối cực chỉ là cách trình bày lại lời giải của Black Selena theo ngôn ngữ khác (nếu bạn hiểu rõ nguyên lý của cực, đối cực), mặt khác, thật đáng tuyên dương Black Selena với 1 lời giải THCS khá đẹp mắt Mà kiến thức về cực đối cực trong các kì thi ở THPT không được áp dụng, quả thật, lời giải của Black Selena thật tuyệt vời

À mình hiểu chớ, nhưng mà mình muốn đóng góp thêm những cách giải hay để làm phong phú thêm ấy mà

[perfectstrong]

Dùng cực đối cực chỉ là cách trình bày lại lời giải của Black Selena theo ngôn ngữ khác (nếu bạn hiểu rõ nguyên lý của cực, đối cực), mặt khác, thật đáng tuyên dương Black Selena với 1 lời giải THCS khá đẹp mắt Mà kiến thức về cực đối cực trong các kì thi ở THPT không được áp dụng, quả thật, lời giải của Black Selena thật tuyệt vời

Theo mình biết thì thi Olympic 30/4 và TST vẫn được dùng mà bạn

[hoangtubatu955]

Bài này trên THTT cũng có lời giải bằng hình học THCS như thế.
Mà hình như đi thi thì cưc và đối cực được dùng chứ nhỉ?