Chủ đề này có 1 trả lời

[barcavodich]

• Tìm $m$ để bất phương trình sau có tập nghiệm có độ dài bằng $1$ 

$x^2-2mx+3m-2\leq 0$

• Tìm $m$ để bất phương trình sau đúng với mọi $x\epsilon [0,1]$ 

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2\sqrt{x-x^2}+m\leq 0$

[25 minutes]

 

•  

• Tìm $m$ để bất phương trình sau đúng với mọi $x\epsilon [0,1]$ 
• 
  

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2\sqrt{x-x^2}+m\leq 0$

 

BPT đã cho tương đương với $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2\sqrt{x(1-x)} \leq -m$

Đặt $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2\sqrt{x(1-x)}$

ĐK để bpt có nghiệm là $-m \geq f_{min}(x)$

Do đó ta sẽ đi tìm Min của $f(x)$

Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\Rightarrow 2\sqrt{x(1-x)}=t^2-1$

   $\Rightarrow f(x)=f(t)=t^2+t-1, t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

Dễ thấy $x+1-x=1$ nên $\sqrt{x} \geq x,\sqrt{1-x} \geq 1-x\Rightarrow t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x} \geq 1$

    $\Rightarrow f(x)=f(t) \geq 1$

Vậy điều kiện để bpt đã cho có nghiệm là $-m \geq f_{min}(x)=1\Leftrightarrow m \leq -1$