Chủ đề này có 14 trả lời

[E. Galois]

Vào hồi 20h30, Thứ Sáu, ngày 19/04/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[E. Galois]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$. Kẻ đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn tâm $O$ tại $D$, cắt các đường thẳng $BC$ tại $I$. Đường thẳng qua $I$ và $O$ cắt các đường thẳng $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$.
Chứng minh rằng $OM=ON$.

 

 

Đề của 

vuminhhoang

[BlackSelena]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$. Kẻ đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn tâm $O$ tại $D$, cắt các đường thẳng $BC$ tại $I$. Đường thẳng qua $I$ và $O$ cắt các đường thẳng $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$.
Chứng minh rằng $OM=ON$.

 

 

Đề của 

vuminhhoang

Bài làm của MSS01-BlackSelena:

Đường thẳng qua $B$ song song với $MN$ cắt $AD, AC$ lần lượt tại $P,Q$.

Hạ $OH \perp BC \Rightarrow BH = HC$, khi đó $\angle OHI = \angle ODI = 90^\circ$ nên $OHDI:tgnt$

$\Rightarrow \angle OIH = \angle ODH$, mặt khác do $BP \parallel OI$ nên $\angle OIH = \angle PBH$

$\Rightarrow \angle ODH = \angle PBH \Rightarrow HDPB:tgnt$

$\Rightarrow \angle HPB = \angle HBD \equiv \angle CBD = \angle CAD$

$\Rightarrow HP \parallel CQ$

Vậy theo $\text{Thales}$: $\dfrac{BH}{HC} = \dfrac{BP}{PQ} = 1$

$\Rightarrow BP = PQ$

Cũng áp dụng định lý $\text{Thales}$ với $MN \parallel BQ$

$\dfrac{MO}{BP} = \dfrac{AO}{AP} = \dfrac{ON}{PQ}$

$\Rightarrow \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{BP}{QP} = 1$
$\Rightarrow OM = ON$ (đpcm)!

 

Chỗ màu đỏ không đúng

Điểm bài 8

S = 25 + 8*3 = 49

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 10:02
Chấm bài

[daovuquang]

Bài làm của daovuquang:

Lấy $F$ là trung điểm $BC \Rightarrow OF \perp BC \Rightarrow \widehat{OFE}=90^o$.

$DE$ là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow \widehat{ODE}=90^o$

$\Rightarrow OFDE$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EFD}=\widehat{EOD}=\widehat{AOM}$.

Mặt khác, $ABDC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BCD}$.

Suy ra $\triangle{AOM} \sim \triangle{CFD}\; (g.g)$

$\Rightarrow \frac{OM}{FD}=\frac{AO}{CF}$

$\Rightarrow OM.CF=OA.FD\; (1)$

Tương tự, $\triangle{AON} \sim \triangle{BFD}\; (g.g)$

$\Rightarrow ON.BF=OA.FD\; (2)$

Từ $(1),(2) \Rightarrow OM.CF=ON.BF$

$\Rightarrow OM=ON$ (do $F$ là trung điểm $BC$)

$\Rightarrow$ đpcm.

 

Điểm bài 10

S  = 18 + 10*3 = 48

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 10:07
Chấm bài

[Tru09]

Bài làm :
Lấy X là trung điểm BC

Ta có $OX \perp BC$

Xét tứ giác $OXDI$ có $\angle OXI =\angle ODI =90^o$

$\Rightarrow OXDI$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle ODI =\angle IXD $

$\Rightarrow \angle AOM =\angle XCD (1)$

Xét $\Delta AMO$  và $\Delta CDX$ có :

(1) và $\angle BAD =\angle BCD$

$\Rightarrow \Delta AMO$ ~ $\Delta BCD$

$\Rightarrow \frac{MO}{XD} =\frac{AO}{\frac{BC}{2}} (2)$

Xét $\Delta AON$ và  $\Delta BXD$

có :$\angle AON =\angle BXD$

$\angle OAN =\angle BCD$

$\Rightarrow \Delta AON $~ $\Delta BXD$

$\Rightarrow \frac{ON}{XD} =\frac{AO}{\frac{BC}{2}} (3)$

Từ (2) và (3) 

$\Rightarrow ON =OM$

Các chỗ màu đỏ sai

Điểm bài: 6

S = 16+3*6 = 34

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 10:20
Chấm bài

[Trang Luong]

Ta có : $\widehat{AED}=\widehat{AKD}=\widehat{AHD}=\widehat{ACD}=90^{\circ}$ (chắn nửa đường tròn)

KHÔNG GIẢI THÍCH E, K LÀ CÁC ĐIỂM NHƯ THẾ NÀO?

$\Rightarrow AEKD,AHCD,AHDK,AHDE,ACDK,ACDE$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có : $\widehat{ADK}=\widehat{AHK}$ (chắn cung $AK$)

mà $\widehat{AHK}=\widehat{AHO}=\widehat{OAH}=\widehat{HAD}$ (vì$\Delta AOH$ cân)

$\Rightarrow \widehat{HAD}=\widehat{KDA}$(1) $\Rightarrow AKDH$ là hình chữ nhật

Chứng minh tương tự ta cũng có : $\widehat{ADE}=\widehat{DAC}$(2)

CẦN CHỨNG MINH O, C, E THẲNG HÀNG

Từ (1),(2) $\Rightarrow \widehat{KDE}=\widehat{CAH}\Rightarrow \widehat{KDM}=\widehat{NAH}$

Xét $2\Delta , \Delta KDM$ và $\Delta HAN$

có $\left\{\begin{matrix} KD=AH & & & \\ \widehat{KDM}=\widehat{NAH} & & & \\ \widehat{MKD}=\widehat{NHA} & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta KDM=\Delta HAN(g.c.g)\Rightarrow KM=NH$

mà $OK=OH\Rightarrow OM=ON    Q.E.D$

 

Lập luận thiếu chặt chẽ.

Điểm bài: 6

S= 13 + 6*3 = 31

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-06-2013 - 10:04
Chấm bài

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[Trang Luong]

msstrancuoi.png

Bài làm của MSS01-BlackSelena:

Đường thẳng qua $B$ song song với $MN$ cắt $AD, AC$ lần lượt tại $P,Q$.

Hạ $OH \perp BC \Rightarrow BH = HC$, khi đó $\angle OHI = \angle ODI = 90^\circ$ nên $OHDI:tgnt$

$\Rightarrow \angle OIH = \angle ODH$, mặt khác do $BP \parallel OI$ nên $\angle OIH = \angle PBH$

$\Rightarrow \angle ODH = \angle PBH \Rightarrow HDPB:tgnt$

$\Rightarrow \angle HPB = \angle HBD \equiv \angle CBD = \angle CAD$

$\Rightarrow HP \parallel CQ$

Vậy theo $\text{Thales}$: $\dfrac{BH}{HC} = \dfrac{BP}{PQ} = 1$

$\Rightarrow BP = PQ$

Cũng áp dụng định lý $\text{Thales}$ với $MN \parallel BQ$

$\dfrac{MO}{BP} = \dfrac{AO}{AP} = \dfrac{ON}{PQ}$

$\Rightarrow \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{BP}{QP} = 1$
$\Rightarrow OM = ON$ (đpcm)!

Tại sao lại có chỗ này $\Rightarrow \angle HPB = \angle HBD \equiv \angle CBD = \angle CAD$

$\Rightarrow HP \parallel CQ$

Chỗ nay sai rồi. Phải sửa là  $\Rightarrow \angle HPD = \angle HBD \equiv \angle CBD = \angle CAD$

$\Rightarrow HP \parallel CQ$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 22-04-2013 - 20:48

[BlackSelena]

Tại sao lại có chỗ này $\Rightarrow \angle HPB = \angle HBD \equiv \angle CBD = \angle CAD$

$\Rightarrow HP \parallel CQ$

Chỗ nay sai rồi. Phải sửa là  $\Rightarrow \angle HPD = \angle HBD \equiv \angle CBD = \angle CAD$

$\Rightarrow HP \parallel CQ$

Chết thật :|

[4869msnssk]

Ta có : $\widehat{AED}=\widehat{AKD}=\widehat{AHD}=\widehat{ACD}=90^{\circ}$ (chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AEKD,AHCD,AHDK,AHDE,ACDK,ACDE$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có : $\widehat{ADK}=\widehat{AHK}$ (chắn cung $AK$)

mà $\widehat{AHK}=\widehat{AHO}=\widehat{OAH}=\widehat{HAD}$ (vì$\Delta AOH$ cân)

$\Rightarrow \widehat{HAD}=\widehat{KDA}$(1) $\Rightarrow AKDH$ là hình chữ nhật

Chứng minh tương tự ta cũng có : $\widehat{ADE}=\widehat{DAC}$(2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow \widehat{KDE}=\widehat{CAH}\Rightarrow \widehat{KDM}=\widehat{NAH}$

Xét $2\Delta , \Delta KDM$ và $\Delta HAN$

có $\left\{\begin{matrix} KD=AH & & & \\ \widehat{KDM}=\widehat{NAH} & & & \\ \widehat{MKD}=\widehat{NHA} & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta KDM=\Delta HAN(g.c.g)\Rightarrow KM=NH$

mà $OK=OH\Rightarrow OM=ON    Q.E.D$

E,K là gì vậy bạn 

[4869msnssk]

Bài làm :
Lấy X là trung điểm BC

Ta có $OX \perp BC$

Xét tứ giác $OXDI$ có $\angle OXI =\angle ODI =90^o$

$\Rightarrow OXDI$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle ODI =\angle IXD $

$\Rightarrow \angle AOM =\angle XCD (1)$

Xét $\Delta AMO$  và $\Delta CDX$ có :

(1) và $\angle BAD =\angle BCD$

$\Rightarrow \Delta AMO$ ~ $\Delta BCD$

$\Rightarrow \frac{MO}{XD} =\frac{AO}{\frac{BC}{2}} (2)$

Xét $\Delta AON$ và  $\Delta BXD$

có :$\angle AON =\angle BXD$

$\angle OAN =\angle BCD$

$\Rightarrow \Delta AON $~ $\Delta BXD$

$\Rightarrow \frac{ON}{XD} =\frac{AO}{\frac{BC}{2}} (3)$

Từ (2) và (3) 

$\Rightarrow ON =OM$

[diutranxuan]

Ta có : $\widehat{AED}=\widehat{AKD}=\widehat{AHD}=\widehat{ACD}=90^{\circ}$ (chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AEKD,AHCD,AHDK,AHDE,ACDK,ACDE$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có : $\widehat{ADK}=\widehat{AHK}$ (chắn cung $AK$)

mà $\widehat{AHK}=\widehat{AHO}=\widehat{OAH}=\widehat{HAD}$ (vì$\Delta AOH$ cân)

$\Rightarrow \widehat{HAD}=\widehat{KDA}$(1) $\Rightarrow AKDH$ là hình chữ nhật

Chứng minh tương tự ta cũng có : $\widehat{ADE}=\widehat{DAC}$(2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow \widehat{KDE}=\widehat{CAH}\Rightarrow \widehat{KDM}=\widehat{NAH}$

Xét $2\Delta , \Delta KDM$ và $\Delta HAN$

có $\left\{\begin{matrix} KD=AH & & & \\ \widehat{KDM}=\widehat{NAH} & & & \\ \widehat{MKD}=\widehat{NHA} & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta KDM=\Delta HAN(g.c.g)\Rightarrow KM=NH$

mà $OK=OH\Rightarrow OM=ON    Q.E.D$

Mình thấy ý tưởng chứng minh BT rất hay vì nó phù hợp với đại đa số HS có thể hiểu được, phù hợp với việc dạy học vì có thể dẫn dắt được từ yêu cầu BT tìm ra cách giải. Tuy nhiên bạn vẫn chưa chứng minh 3 điểm E, O, C thẳng hàng thì sao mà tương tự được. Thân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diutranxuan: 29-04-2013 - 18:07

[E. Galois]

Đã chấm xong trận này, các toán thủ có 1ngày để phúc khảo

[Trang Luong]

Thưa thầy bao giờ có kết quả cả năm ạ. Bao giờ MSS 2014 bắt đầu

[E. Galois]

Tháng 8/2013 mới khởi động mùa giải mới, còn kết quả mùa này thì đã có rồi