Chủ đề này có 2 trả lời

[faraanh]

tìm giới hạn của dãy $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+1}\end{matrix}\right.$ (dùng kiến thức sơ cấp nhất để giải)

[tramyvodoi]

tìm giới hạn của dãy $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+1}\end{matrix}\right.$ (dùng kiến thức sơ cấp nhất để giả

Trước khi trình bày lời giải tổng quát, mình xin nhắc lại 1 số "viên gạch nền"

Giải sữ ta có dãy sau $u^{n+2}+bu^{n+1}+cu^{n}=0$

Xét phương trình đặc trưng

$aX^{2}+bX+c=0$    (1)

TH1: nếu phương trình (1) có 2 nghiệm X1, X2 thì $u_{n}$ có công thức tổng quát là $u_{n}=AX_{1}^{n}+BX_{2}^{n}$ với A, B là hằng số.

Th2: nếu phương trình (1) có 1 nghiệm $X_{1}=X_{2}=X_{k}$ thì $u_{n}$ có công thức tổng quát là $u_{n}=(A+Bn)x_{k}^{n}$

TH3. nếu phương trình (2) có nghiệm phức $x+yi=r(cos\gamma +isin\gamma )$ thì $u_{n}$ có công thức tổng quát là:

$u_{n}=r^{n}(Acosn\gamma +Bsinn\gamma )$ với $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

3 công thức này có thể chứng minh tương đối dễ dàng.

Trờ lại bài toán:

Cho $u_{1}=a$

$u_{n+1}=\frac{pu_n+q}{ru_{n}+s}$

Ta sẽ đặt $u_{n}=\frac{y_{n}}{z_{n}}$. Khi đó:

$\frac{y_{n+1}}{z_{n+1}}=\frac{py_{n}+qz_{n}}{ry_{n}+sz_{n}}$

Đén đây, ta giải hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} y_{n+1}=py_{n}+qz_{n} & \\ z_{n+1}=ry_{n}+sz_{n} & \end{matrix}\right.$

Trong phương trình đầu của hệ, thay n=n+1 và để ý chút:

$y_{n+2}=py_{n+1}+qz_{n+1}=py_{n+1}+q(ry_{n}+sz_{n})$.

$\Leftrightarrow y_{n+2}-(p+s)y_{n+1}+(ps-qr)y_{n}=0$

Đến đây mình làm tiếp được rùi, dựa vào 3 trường hợp mình đã nêu.

Bài toán tổng quát được giải quyết xong.

 

P/s: khi đi thi, thì tất cả những bước trên mình chỉ cần làm trong nháp thui, sau đó ném kết quả vào với câu: ta sẽ chứng minh dãy số cần tìm có dạng abcxyz bla bla bằng quy nạp. Giám khảo sẽ ngở ngàng cho mà xem.^^

[levanquy]

Có thể tìm xác định số hạng tổng quát của dãy dạng $u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d} $ như sau

Đặt $x_n=u_n+t$ khi đó ta có: $x_{n+1}-t=\frac{ax_n-at+b}{cx_n-ct+d} $ tương đương $x_{n+1}=\frac{(a+ct)x_n-ct^2+(d-a)t+b}{cx_n-ct+d} $

Chọn t sao cho: $-ct^2+(d-a)t+b=0$ khi đó ta được dãy $x_{n+1}=\frac{(a+ct)x_n}{cx_n-ct+d} $ nghịch đảo dãy và chuyến về dãy CSN là xong