Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Ta có: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)$
Mà $x^{2}+1\geq 2x; y^{2}+1\geq 2y; z^{2}+1\geq 2z$
$\Rightarrow x^{2}+1+y^{2}+1+z^{2}+1+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 12$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$ (đpcm)
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Ta có $6=x+y+z+xy+yz+zx\leq x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}$
$\Rightarrow x+y+z\geq 3$ hay $x+y+z\leq -6$
TH1: $x+y+z\geq 3$
$\Rightarrow 9\leq (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
TH2:$x+y+z\leq -6$
$\Rightarrow (x+y+z)^{2}\geq 36$
Khi đó $36\leq (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 12$
Từ 2 trường hợp, ta suy ra $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Ta luôn có: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0 \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+xz+x+y+z)=12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
hôm trước đăng nhầm hả
ta có $x^{2} +1 \geq 2x$
$y^{2}+1 \geq 2y và z^{2} + 1 \geq 2z $
suy ra $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 2x + 2y +2z -3$ (1)
mà $2(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2( xy +yz +zx) $ (2)
từ (1) và (2) suy ra $ 3(x^{2} +y^{2} + z^{2})\geq 2(x+y+z +xy+yz+xz) -3 =12-3=9$
suy ra $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3$
tàn lụi
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh