Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#2
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

Ta có: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)$

Mà $x^{2}+1\geq 2x; y^{2}+1\geq 2y; z^{2}+1\geq 2z$

$\Rightarrow x^{2}+1+y^{2}+1+z^{2}+1+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 12$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$ (đpcm)


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#3
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết

Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

Ta có $6=x+y+z+xy+yz+zx\leq x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

$\Rightarrow x+y+z\geq 3$ hay $x+y+z\leq -6$

TH1: $x+y+z\geq 3$

$\Rightarrow 9\leq (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

TH2:$x+y+z\leq -6$

$\Rightarrow (x+y+z)^{2}\geq 36$

Khi đó $36\leq (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 12$

Từ 2 trường hợp, ta suy ra $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$



#4
Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết

Ta luôn có: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0 \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+xz+x+y+z)=12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$


Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#5
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

hôm trước đăng nhầm hả

 

ta có $x^{2} +1 \geq 2x$

$y^{2}+1 \geq  2y  và z^{2} + 1 \geq  2z $

suy ra $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq  2x + 2y +2z -3$ (1)
mà $2(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2( xy +yz +zx) $ (2)

từ (1) và (2) suy ra $ 3(x^{2} +y^{2} + z^{2})\geq  2(x+y+z +xy+yz+xz) -3 =12-3=9$

suy ra  $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3$

 


tàn lụi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh