Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 331 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 20-04-2013 - 20:39

Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#2 PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vietnam
  • Sở thích:Sông Lam Nghệ An

Đã gửi 20-04-2013 - 21:00

Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

Ta có: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)$

Mà $x^{2}+1\geq 2x; y^{2}+1\geq 2y; z^{2}+1\geq 2z$

$\Rightarrow x^{2}+1+y^{2}+1+z^{2}+1+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 12$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$ (đpcm)


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#3 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 20-04-2013 - 21:01

Cho $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Hãy chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

Ta có $6=x+y+z+xy+yz+zx\leq x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

$\Rightarrow x+y+z\geq 3$ hay $x+y+z\leq -6$

TH1: $x+y+z\geq 3$

$\Rightarrow 9\leq (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

TH2:$x+y+z\leq -6$

$\Rightarrow (x+y+z)^{2}\geq 36$

Khi đó $36\leq (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 12$

Từ 2 trường hợp, ta suy ra $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$



#4 Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội
  • Sở thích:nhiều lắm!!!

Đã gửi 21-04-2013 - 10:02

Ta luôn có: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0 \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+xz+x+y+z)=12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$


Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#5 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 21-04-2013 - 11:33

hôm trước đăng nhầm hả

 

ta có $x^{2} +1 \geq 2x$

$y^{2}+1 \geq  2y  và z^{2} + 1 \geq  2z $

suy ra $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq  2x + 2y +2z -3$ (1)
mà $2(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2( xy +yz +zx) $ (2)

từ (1) và (2) suy ra $ 3(x^{2} +y^{2} + z^{2})\geq  2(x+y+z +xy+yz+xz) -3 =12-3=9$

suy ra  $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3$

 


tàn lụi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh