Chủ đề này có 12 trả lời

[Yagami Raito]

Đề Thi Phát Hiện HSG Lớp 8 Năm Học: 2012-2013

 

 

Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử 

$$y^{3}z^{3}+xy^{2}z^{2}-xyz^{3}-y^{4}z+xy^{2}z-xy^{3}-x^{2}y^{2}+x^{2}y$$

b)Chứng minh rằng với mọi $n$ là số tự nhiên $n\neq 3$ thì $n^{3}> 3^{n}$ ( quy nạp )

Câu 2 a Chứng minh $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+50^{3}\vdots 1+2+3++50$

b)Xét xem có tôn tại hình vuông nào mà cạnh có số đo là một số nguyên có diện tích là 1 số gôm 2012 chữ số 0 và 2013 chữ số 1 hay không .

Câu 3: a) Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ thoar mãn đông thời các điều kiện sau

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 3$ và $x+y=3$ 

b) Chứng minh  phương trình $x^{5}-x^{4}y-13x^{3}y^{2}+13x^{2}y^{3}+36xy^{4}-36y^{5}=33$ không có nghiệm nguyên 

Câu 4 . Cho tam giác $ABC$ và 2 phân giác trong là $BD,CE$ ($D\epsilon AC,E\epsilon AB$) M là một điểm thuộc đoạn thẳng DE.Chứng minh khoảng cách từ M đến BC bằng tổng khoảng cahs từ M đến AB và AC.

Câu 5: a) TÌm các số nguyên $x,y,z$ thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}<xy+3y+2z-3$ 

b) tìm $k$ để $\left | 4x-\left | 4x-1 \right | \right |=2k^{2}x$ có nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 20-04-2013 - 21:10

[banhgaongonngon]

Câu 5: a) TÌm các số nguyên $x,y,z$ thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}<xy+3y+2z-3$ 

 

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}<xy+3y+2z-3$

$\Leftrightarrow\left ( x-\frac{1}{2}y \right )^{2}+3\left ( \frac{1}{2}y-1 \right )^{2}+(z-1)^{2}<1$

$\Rightarrow \left ( x-\frac{1}{2}y \right )^{2}+3\left ( \frac{1}{2}y-1 \right )^{2}+(z-1)^{2}=0$

[Trang Luong]

Câu 3a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{xy}\leq 3\Rightarrow xy\geq 1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy\geq 1 & & \\ x+y=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x=1,y=2$ và các hoán vị

Vì x,y nguyên dương

[Ha Manh Huu]

cái câu quy nạp sai đề rồi

[Yagami Raito]

cái câu quy nạp sai đề rồi

Chứng minh giùm mình cái mình cũng nghĩ vậy..

[IloveMaths]

2a)

* Bổ đề:  $1^3+2^3+....+n^3=(1+2+3+...+n)^2$

Dễ chứng minh bằng quy nạp , Áp dụng là xong

[IloveMaths]

2a)

* Bổ đề:  $1^3+2^3+....+n^3=(1+2+3+...+n)^2$

Dễ chứng minh bằng quy nạp , Áp dụng là xong

2b)

Giả sử tồn tại tồn tại hình vuông nhu vây.Ta có:

Số tạo thành từ 2012 số 0 và 2013 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không thể là số chính phương.Vậy không tồn tại tam giác như vậy

Xử luôn câu 3 b)

$x^5-x^4y-13x^3y^2+13x^2y^3+36xy^4-36y^5=(x-y)(x^4-13x^2y^2+36y^4) =(x-y)(x^2-4y)(x^2-9y)=(x-y)(x-2y)(x-3y)(x+2y)(x+3y)$

 

Dễ thây 33 chỉ phân tích ra tích các số nguyên khác nhau nhiều nhât là 3 sô. Vậy phương trinh không có nghiêm nguyên 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 20-04-2013 - 23:27

[4869msnssk]

 

Đề Thi Phát Hiện HSG Lớp 8 Năm Học: 2012-2013

 

 

Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử 

$$y^{3}z^{3}+xy^{2}z^{2}-xyz^{3}-y^{4}z+xy^{2}z-xy^{3}-x^{2}y^{2}+x^{2}y$$

b)Chứng minh rằng với mọi $n$ là số tự nhiên $n\neq 3$ thì $n^{3}> 3^{n}$ ( quy nạp )

Câu 2 a Chứng minh $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+50^{3}\vdots 1+2+3++50$

b)Xét xem có tôn tại hình vuông nào mà cạnh có số đo là một số nguyên có diện tích là 1 số gôm 2012 chữ số 0 và 2013 chữ số 1 hay không .

Câu 3: a) Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ thoar mãn đông thời các điều kiện sau

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 3$ và $x+y=3$ 

b) Chứng minh  phương trình $x^{5}-x^{4}y-13x^{3}y^{2}+13x^{2}y^{3}+36xy^{4}-36y^{5}=33$ không có nghiệm nguyên 

Câu 4 . Cho tam giác $ABC$ và 2 phân giác trong là $BD,CE$ ($D\epsilon AC,E\epsilon AB$) M là một điểm thuộc đoạn thẳng DE.Chứng minh khoảng cách từ M đến BC bằng tổng khoảng cahs từ M đến AB và AC.

Câu 5: a) TÌm các số nguyên $x,y,z$ thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}<xy+3y+2z-3$ 

b) tìm $k$ để $\left | 4x-\left | 4x-1 \right | \right |=2k^{2}x$ có nghiệm.

 

 

 

cái câu quy nạp sai đề rồi

thay n=1 thì ...

đây là đề ở đâu vậy

[chieckhantiennu]

2a.

Ta thấy: $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$

$\Rightarrow 1^3+2^3+3^3+...+50^3=(1+2+3+...+50)^3-3.1.2.3. ... .50(1+2+3+...+50)=(1+2+3+...+50)[(1+2+3+...+50)^2-3.1.2.3. ... 50 \vdots (1+2+3+...+50)$

Vậy $1^3+2^3+3^3+...+50^3 \vdots (1+2+3+...+50)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 26-01-2014 - 18:02

[chieckhantiennu]

Gọi a là số đo cạnh hình vuông.

Ta có:

$S=a^2=\underbrace{ 11...1 }_{2013 so}\underbrace{ 00...0}_{2012 so}$

Đặt: $\underbrace{ 11...1 }_{2012 so}=b$ thì $10^{2012}=9b+1$.

$S=\underbrace{ 11...1 }_{2012 so}1\underbrace{ 00...0}_{2012 so}=(\underbrace{ 11...1 }_{2012 so}1).10^{2012}$

$\Leftrightarrow S=(10b+1)(9b+1)=90b^2+19b+1=(\sqrt{90b}+1)^2$

$\Leftrightarrow a^2=(\sqrt{90b}+1)^2 \Rightarrow a=\sqrt{90b}+1 \Rightarrow a=\sqrt{90. \underbrace{ 11...1 }_{2012 so}}+1$

p/s: Em làm thế không biết có đúng không?

[chieckhantiennu]

Câu 5.b.

$\left | 4x-\left | 4x-1 \right | \right |=2k^2x$ (1)

a. Xét khoảng: $4x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq \frac{1}{4}$

$(1) \Leftrightarrow \left | 4x-(4x-1) \right |=2k^2x \Leftrightarrow 2k^2x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2k^2} ( k \neq 0)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2k^2}\geq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 2k^2\leq 4\Leftrightarrow k\leq \sqrt{2}$

b. Xét khoảng: $4x-1<0$.

$(1)\Leftrightarrow \left | 4x-(1-4x) \right |=2k^2x \Leftrightarrow \left | 8x-1 \right |=2k^2x (2)$

+ Với $\frac{1}{8}\leq x\leq 0$ , $(2)\Leftrightarrow 8x-1=2k^2x \Leftrightarrow x=\frac{1}{8-2k^2}(k \neq 0)$

và $\frac{1}{8}\leq \frac{1}{8-2k^2}\leq 0$

$\frac{1}{8}\leq \frac{1}{8-2k^2}\Leftrightarrow 8\geq 8-2k^2 \Leftrightarrow 0 \geq -2k^2$ ( luôn đúng với mọi k).

$\frac{1}{8-2k^2}< 0\Leftrightarrow 8-2k^2<0\Leftrightarrow 2k^2<8 \Leftrightarrow k<2$

+ Với $x<\frac{1}{8}$, $(2)\Leftrightarrow 1-8x=2k^2x\Leftrightarrow x=\frac{1}{8+2k^2} \Leftrightarrow \frac{1}{8+2k^2} < \frac{1}{8}\Leftrightarrow k>0$

 

Kết luận:

Nếu $k\leq \sqrt{2} (k\neq 0)$, pt có nghiệm: $x=\frac{1}{2k^2}$

Nếu $k<2$, pt có nghiệm: $x=\frac{1}{8-2k^2}$

Nếu k>0, pt có nghiệm: $x=\frac{1}{8+2k^2}$

p/s: Em làm thế không biết có đúng không?

 

[chieckhantiennu]

Gọi hình chiếu của M lên các cacnhj AB, BC, AC lần lượt là F, T, N.

Gọi hình chiếu của E lên BC, AC thứ tự là $E_1, E_2$.

Gọi hình chiếu của D lên BC, AB thứ tự là $D_1, D_2$.

Gọi $E_1D\cap MT=Q$.

Do CE là tia phân giác của $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow EE_1=EE_2 (1)$

Ta có:

$\frac{MN}{EE_2}=\frac{MD}{ME}; \frac{MQ}{EE_1}=\frac{MD}{DE}$

$\Rightarrow \frac{MN}{EE_2}=\frac{MQ}{EE_1} (2)$

Từ (1), (2) $\Rightarrow MN=MQ$

Chứng minh tương tự ta được: $MF=QT$

$\Rightarrow MT=MQ+QT=MN+MF(đpcm)$

[lehoangphuc1820]

 

Câu 2 a Chứng minh $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+50^{3}\vdots 1+2+3+...+50$

 

Đặt $S=1^3+2^3+3^3+...+49^3+50^3$

Đặt $S'=1+2+3+...+49+50$

Khi đó $S'=\frac{51.50}{2}=51.25$

Mà $(51;25)=1$ nên ta chỉ cần cm $S\vdots 25$ và $S\vdots 51$

ta có: $S=(1^3+50^3)+(2^3+49^3)...(25^3+26^3)\vdots 51$(1)

Lại có: $S=(1^3+49^3)+(2^3+48^3)+(3^3+47^3)...(25^3+50^3)\vdots 25$(2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm